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《九章算術(shù)》簡(jiǎn)介
九章算術(shù)卷一方田
《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，承先秦?cái)?shù)學(xué)發(fā)展的源流，進(jìn)入漢朝后又經(jīng)許多學(xué)者的刪補(bǔ)才最后成書，這大約是公元一世紀(jì)的下半葉。它的出現(xiàn)，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成。
后世的數(shù)學(xué)家，大都是從《九章算術(shù)》開始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)的。唐宋兩代都由國家明令規(guī)定為教科書。1084年由當(dāng)時(shí)的北宋朝廷進(jìn)行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書。
《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作；其中盈不足的算法更是一項(xiàng)令人驚奇的創(chuàng)造；“方程”章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。
《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，是算經(jīng)十書中最重要的一種．《九章算術(shù)》上承先秦?cái)?shù)學(xué)發(fā)展之源流，入漢之后又經(jīng)許多學(xué)者的整理、刪補(bǔ)和修訂，大約于東漢初年（公元一世紀(jì)）成書，是幾代人共同勞動(dòng)的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成．后世的古代數(shù)學(xué)家，大都是從《九章算術(shù)》開始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的，許多人曾為它作過注釋，其中最著名的有劉徽（公元263年）、李淳風(fēng)（公元656年）等人．
現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》成書于何時(shí)，目前眾說紛紜，多數(shù)認(rèn)為在西漢末到東漢初之間，約公元一世紀(jì)前后，《九章算術(shù)》的內(nèi)容十分豐富，全書采用問題集的形式，收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒有證明），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)．這些問題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰（音崔cuī）分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股九章，它們的主要內(nèi)容分別是：
第一章“方田”：主要講述了平面幾何圖形面積的計(jì)算方法。包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積的計(jì)算方法。另外還系統(tǒng)地講述了分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則，以及求分子分母最大公約數(shù)等方法。
第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術(shù)；
第三章“衰分”衰分術(shù)就是按已知的比例分配某物的方法；衰分章還介紹了開平方、開立方的方法，其程序與現(xiàn)今程序基本一致。這是世界上最早的多位數(shù)和分?jǐn)?shù)開方法則。它奠定了中國在高次方程數(shù)值解法方面長期領(lǐng)先世界的基礎(chǔ)。
第四章“少廣”：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等；
第五章“商功”：土石工程、體積計(jì)算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；
第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到十五世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法。
第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設(shè)化為盈不足問題的一般問題的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大。
第八章“方程”：一次方程組問題；采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)——正負(fù)數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同；解線性方程組時(shí)實(shí)際還施行了正負(fù)數(shù)的乘除法。這是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重大的成就，第一次突破了正數(shù)的范圍，擴(kuò)展了數(shù)系。外國則到七世紀(jì)印度的婆羅摩及多才認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。
第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題。其中的絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時(shí)的社會(huì)生活密切相關(guān)的。提出了勾股數(shù)問題的通解公式。在西方，畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個(gè)公式的幾種特殊情況，直到三世紀(jì)的丟番圖才取得相近的結(jié)果，這已比《九章算術(shù)》晚約三個(gè)世紀(jì)了。勾股章還有些內(nèi)容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最后一題給出的一組公式，在國外到19世紀(jì)末才由美國的數(shù)論學(xué)家迪克森得出。
勾股定理即西方所指的畢達(dá)哥拉斯定理：就是在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。
在中國，這個(gè)定理的記載最早見于《周髀算經(jīng)》（約公元前一世紀(jì)前的西漢時(shí)期），書中有一段商高答周公問中有“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”的話，意即直角三角形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5；書中還記載陳子答榮方問：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之、得邪至日?！?/p>
到了三國的趙爽（趙爽，字君卿。生平不詳，約生活于公元三世紀(jì)初），在他的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《勾股圓方圖》中，運(yùn)用弦圖，巧妙地證明了勾股定理的理論。他把三角形涂成紅色，其面積叫“朱實(shí)”，中間正方形涂成黃色，叫做“中黃實(shí)”，也叫“差實(shí)”。又曰：“按弦圖，又可勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦稱弦實(shí)”。
弦圖
趙爽在“勾股圓方圖說--”中，結(jié)合幾何與代數(shù)，利用面積的運(yùn)算得出勾股形的證明如下：
趙爽首先以一直角三角形之弦為邊長，做出一正方形，該正方形之面積稱之為“弦實(shí)”，然后再以該正方形的四個(gè)頂點(diǎn)做出邊長為“勾+股”長度之外接正方形，再利用“對(duì)稱原理”，把外面的大正方形所殘留的四個(gè)直角三角形，對(duì)稱到弦實(shí)面積內(nèi)，所得出的四個(gè)相同大小的直角三角形稱為“朱實(shí)”。如此一來，弦實(shí)部分扣除朱實(shí)之后，剩余的小正方行為“黃實(shí)”。接下來，剩下的工作就是代數(shù)部分：
三國時(shí)期魏國人劉徽，在魏景元四年編寫《九章算術(shù)注》，提出了“出入相補(bǔ)原理”，即把圖形分割若干塊后，各塊面積和等于原圖面積，他利用“出入相補(bǔ)原理”，成功地證明了勾股定理。
“出入相補(bǔ)原理”又稱“以盈補(bǔ)虛”或“損廣補(bǔ)狹”，（或稱為割補(bǔ)術(shù)）是將平面圖形或立體圖形分割成若干部分，將它們重新拼合成其面積或體積為已知的圖形，從而解決與面積、體積有關(guān)的問題，成為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解決面積、體積和勾股、測(cè)望問題的重要方法。它起源于《算數(shù)書》、《九章算術(shù)》編纂的時(shí)代，不過現(xiàn)傳最早的記載在趙爽《周髀算經(jīng)注》的勾股圓方圖說與劉徽《九章算術(shù)注》的方田、少廣、商功、勾股等章中。它基于這樣兩個(gè)基本的前提：將一個(gè)圖形分割成若干部分，則它們?nèi)w的面積或體積之和等于原圖形的面積或體積；將一個(gè)圖形平移或旋轉(zhuǎn)不改變其面積或體積。這兩個(gè)前提在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作中沒有表述過，是當(dāng)作不言自明的真理使用的。
劉徽在《九章算術(shù)》第九章“勾股”的勾股術(shù)“勾股各自乘、并而開方除之，即弦。”作注曰：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不移動(dòng)也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也?！?/p>
“股正方形”面積＋“勾正方形”面積＝“弦正方形”面積；即是：股的平方加上勾的平方等于弦的平方，這個(gè)證明的基本原理是利用平面圖形的面積，巧妙加以移、合、拼、補(bǔ)之后，甚至無須代數(shù)運(yùn)算，而突出勾、股、弦之間的關(guān)系，劉徽利用這種方法概括成一套基本原理，稱為“出入相補(bǔ)原理”。這個(gè)原理是把一個(gè)平面圖形從一處移置到另一處，面積不變；又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積。
他以一直角三角形之三邊為基準(zhǔn)，分別作出三個(gè)正方形，如下圖所示。以勾為邊之正方形稱為“朱方”，以股為邊之正方形稱為“青方”，以弦為邊之正方形則為“弦方”。然后，將朱方與青方之區(qū)域，以出入相輔之道理拼成弦方，并依面積和之關(guān)系得出：弦方＝朱方+青方也就是：
勾股定理由此得到了證明。
在《九章算術(shù)》對(duì)幾何問題的處理上，可以看出我們祖先的不足，例如，“方田”里的圓面積計(jì)算公式表明，對(duì)圓周率的估算是3，這與巴比倫人的結(jié)果相當(dāng)。而球體積的計(jì)算公式只有阿基米德所獲得的精確值的一半，再考慮到圓周率取3，誤差就更大了。不過，書中所列直線行的幾何形的面積或體積的計(jì)算公式，基本上是正確的。《九章算術(shù)》的一個(gè)特色是，把幾何問題算術(shù)化或代數(shù)化，正如《幾何原本》把代數(shù)問題幾何化。遺憾的是，書中幾何問題的算法一律沒有推導(dǎo)過程，因此只是一種實(shí)用幾何。
《九章算術(shù)》總結(jié)了自先秦以來的中國古代數(shù)學(xué)，它既包含了以前已經(jīng)解決了的數(shù)學(xué)問題，又有漢朝時(shí)新發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)成就。一般認(rèn)為，它在數(shù)學(xué)史上，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成，是中國古代數(shù)學(xué)體系的初期代表作。
《九章算術(shù)》問世之前的中國先秦典籍中，記錄了不少數(shù)學(xué)知識(shí)，但是卻沒有《九章算術(shù)》的系統(tǒng)論述，尤其是由易到難、由淺入深、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的編排體例，從而形成中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系。因而后世的中國數(shù)學(xué)家，都是從此開始學(xué)習(xí)和研究，唐、宋時(shí)，為國家明令規(guī)定的教科書，北宋時(shí)由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書。
《九章算術(shù)》中有許多數(shù)學(xué)問題都是世界上記載最早的。例如，關(guān)于比例算法的問題，它和后來在十六世紀(jì)西歐出現(xiàn)的三分律的算法一樣。關(guān)于雙設(shè)法的問題，在阿拉
