什么是圖像數(shù)字化的采樣頻率？

這是我還沒有完全搞清的問題，本來想在搞清楚以后再寫。但看到李濟科在網(wǎng)上發(fā)的兩篇博文“數(shù)字成像基礎理論學習筆記1−−采樣”，“ 數(shù)字成像基礎理論學習筆記2−−再議采樣”，我改變了主意，覺得現(xiàn)在就參與討論可能更有益。

第一點，對射線圖像采樣不是對x和γ射線信號采樣。因為光信號頻率非常高（f≥4X10的14次方），任何儀器都沒有如此高的釆樣頻率，這一點李先生說得是對的。

對光信號采樣是把光由模擬信號變?yōu)閿?shù)字信號，這不是我們要做的事，我們要做的是把射線透照產(chǎn)生的模擬圖像變?yōu)閿?shù)字圖像，兩者不是一碼事。所以不應該對光信號談采樣定理。

第二點，我們對超聲波信號采樣比較了解，但我們對射線圖像采樣不太了解。超聲波信號稱為時域信號，對其采樣稱為時序采樣，而對射線圖像的采樣稱為空間采樣，空間采樣與時序采樣也有所不同。

第三點，空間采樣與時序采樣都是模擬信號數(shù)字化，所以肯定要遵循采樣定理。即空間采樣也有奈奎斯特極限問題，采樣頻率至少要大于圖像的空間頻率的兩倍。

第四點，什么是圖像的空間頻率？

為便于說清，請先看一下時域信號的頻率構(gòu)成，我在《衍射時差法（TOFD）超聲檢測》教材中寫過一段文字（這段文字比較長，也有點難懂，我附在后面，有興趣的人可以看一下），中心意思包含以下幾點：

1、正弦波時域信號是單一頻率信號；

2、正弦波以外的任何波型的時域信號都不是單一頻率信號；

3、任何波型都可以通過不同頻率正弦波疊加得到；

4、超聲脈沖信號不是正弦波，所以它的頻率不是單一的，通過不同頻率正弦波疊加可以得到超聲波信號。

上述四條是可以從時域推廣到空域的：

1、正弦波圖像信號是單一空間頻率信號；

2、正弦波圖像信號以外的任何空間圖像的都不是單一空間頻率的圖像信號；

3、任何空間圖像都可以通過不同頻率正弦波圖像信號疊加得到；

4、射線底片圖像不是正弦波圖像，所以它的空間頻率不是單一的，把不同頻率的正弦波圖像疊加可以得到射線底片圖像。

第五點，補充說明第四點提到的 “正弦波圖像信號”。

所謂正弦波圖像信號就是信號幅度（灰度）按照正弦規(guī)律變化的信號，見圖1。

第六點，任何射線底片圖像都有一定的空間頻率帶寬，其空間頻率分布就是該圖像的頻譜。就像我們用傅里葉變換求出超聲信號的頻譜一樣，我們可以用一些數(shù)學物理方法求出射線底片圖像的頻譜，例如通過掃描得到圖像的維納頻譜。

第七點，如果知道某一射線底片圖像的頻譜，就知道對其進行數(shù)字化需要多高的采樣頻率了。

第八點，總結(jié)

圖像數(shù)字化采樣頻率肯定與光信號頻率無關！

圖像數(shù)字化采樣頻率與圖像的空間頻譜有關。

第九點，問題

圖像數(shù)字化采樣頻率與像素尺寸有關嗎？好像無關。

圖像的空間頻譜與射線能量和曝光量有關嗎？好像有關。

如信號表示為時間的函數(shù)，該信號稱為時域信號，以時間為橫坐標，信號幅值為縱坐標，一個正弦波信號在時域坐標的圖形如圖2.7（a）所示。

如信號表示為頻率的函數(shù)，該信號稱為頻域信號，以頻率為橫坐標，信號幅值為縱坐標，正弦波信號在頻域坐標的圖形如圖2.7（b）所示。

對簡諧信號（正弦波或余弦波），其時域和頻域的對應關系如下式：

（或 x（t）=Asin（ω0t+φ） ）（2-1）

上式表明，時域里一條正弦波曲線的簡諧信號，在頻域中對應一條譜線，即正弦信號的頻率是單一的，其頻譜僅僅是頻域中相應f0頻點上的一個尖峰信號。

按照傅里葉變換理論：任何時域信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的疊加。例如一個矩形波，按傅里葉級數(shù)展開的數(shù)學表達式：

該數(shù)學式表明，矩形波包含多個頻率分量。矩形波可通過不同頻率的正弦波多次疊加得到。用正弦波疊加矩形波的情況見圖2.8，取公式前三項疊加的結(jié)果如圖2.8（a），取前六項疊加的結(jié)果如圖2.8（b）。由圖可以看出，疊加的高頻諧波用的越多，波形越接近矩形波。六項疊加后的形狀已經(jīng)非常接近矩形了。

所有參與疊加的不同諧波的頻率共同構(gòu)成矩形波的頻譜，每一個諧波頻率就是矩形波的一個頻率分量。由公式可以看到，矩形波的展開式是一個無窮級數(shù)，因此理想矩形波的高頻分量是無窮的。

除了簡諧信號（正弦波或余弦波）以外，其他任何波形的頻率都不是單一的。超聲脈沖不是正弦波，因此其頻率也不是單一的，其中包含有多個頻率分量。我們同樣可以用不同頻率正弦波的多次疊加得到超聲脈沖波形。利用計算機通過一種快速傅立葉變換（FFT）的算法，可以方便地求出一個超聲脈沖的頻譜。

圖2.9是一個探頭發(fā)出的超聲脈沖波形及其按FFT算法得到的頻譜。頻譜中曲線覆蓋的頻率范圍就是探頭包含的頻率分量。在頻率范圍的左端和右端，幅度響應很小，實際檢測中該部分信號所起的作用也很小，所以可將其忽略。所謂探頭帶寬只考慮幅度下降到50%的頻率范圍，該范圍邊界分別稱為-6dB上限截止頻率和-6dB下限截止頻率，上下限截止頻率之間范圍稱為-6dB帶寬。圖中探頭的中心頻率為4.5MHz；上下限截止頻率分別是6.9MHz和1.8MHz。-6d B帶寬為5.1MHz。

了解信號帶寬以后，我們再來考慮超聲信號采樣不失真的條件，就明白不能按標稱頻率確定Nyquist極限。對5MHz的超聲信號，用10MHz的采樣頻率是不夠的。由于超聲脈沖有一定帶寬，采樣頻率至少必須大于-6dB上限截止頻率的兩倍，才可保證信號不失真。以下圖為例，由于上限截止頻率為6.9MHz，滿足Nyquist極限的采樣頻率應為13.8MHz?！?/p>

附2：灰度按正弦規(guī)律變化的光柵

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