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——《圓的認識》教學案例與反思
【背景分析】
《圓的認識》是小學數學教材中非常傳統(tǒng)的一個內容，許多名家將它作為典型研究課例，以不同視角作過精彩演繹。朱樂平老師巧用“臉部整圓術”教學圓的知識，利用兩課時的時間讓學生逐步感知圓的特征；潘小明老師創(chuàng)設現實中投圈是否公平這一問題情境，展開對圓的探索；張齊華老師運用數學文化的視角為圓的認識打開另一片天空。其實對于圓的認識這樣一節(jié)研究課，已經被上課者挖掘得非常徹底了，甚至于老師們欣賞圓的認識這節(jié)課也已經達到了相當高的水準了。我們知道，圓的科學定義是：在平面內，到達一個定點距離等于定長的點的軌跡叫做圓。但是很少人嘗試著從圓的本質屬性出發(fā)，教學圓的認識。所以我嘗試著從圓的本質屬性出發(fā)，引領學生用“點的軌跡”的思想去感悟、體驗和理解圓的本質屬性，實現深入淺出的教學圓的認識。
所以我提出了對《圓的認識》教學的幾點思考：
1、教學圓的特征時，能否在小學階段就讓學生領悟“圓是平面內到定點距離相等的點的集合”這一本質特征，為學生后續(xù)學習和今后有效發(fā)展鋪設奠基石？
２、探究圓的特征時，除了借助探究材料和有效的實踐操作，是否可以利用想象、推理有價值的數學思考方式來學習圓的特征？
３、圓具有深厚的文化內涵，是否可以將圓的文化融合在數學學習過程之中，實現數學知識與數學文化水乳相溶，使數學課堂顯得豐滿而圓潤？
【過程描述】
一、課前游戲：
師：在規(guī)定的時間內看誰畫的點多。規(guī)則：先在白紙上畫一個點，然后再畫一些點，要求到第一個點的距離都是3厘米。
師：如果有時間給你畫，你能畫多少個點？
生：可以畫無數個點。
師：這些點將會成為什么圖形？
生：圓形。
師：我能在很短的時間內畫無數個這樣的點。你信嗎？
（老師用圓規(guī)將圖畫成圓形，板書課題：圓的認識）
二、教學新課
師：你能把剛才自己畫的那幅圖補充成圓形嗎？
師：這是我們第一次用圓規(guī)畫圓，你覺得哪兒最容易出問題？
生：圓畫到最后可能會合不攏。
師：為什么會合不攏？是什么原因呢？
生：圓規(guī)兩只腳忽大忽小就會這樣。
師：就是說圓規(guī)兩只腳距離不能改變。還有其他情況嗎？
生：也有可能針尖動了，也會畫不圓。
師：針尖也不能動，看來我們要把重心放在針尖這一邊，固定好兩腳尖的距離，旋轉一周后就可以得到圓形，這些都是畫圓的技巧。
師：同學們，看到這個圓，讓你聯(lián)想到生活中的哪些物體？
生：硬幣、月餅、鐘面……
生：籃球
師：真是很厲害，能把平面圖型想象成立體圖形，不過老師要告訴你，球形與圓形還是有很大區(qū)別的。能說完嗎？老師也帶來了一些。瞧?。利惖膱A形圖片）就連大自然對圓也是情有獨鐘！（欣賞美麗的光環(huán)、綻放的向日葵等）
師：圓美嗎？
生：美！
師：難怪古希臘有位數學家說：“在一切平面圖形中，圓是最美的。”
師：圓看似簡單其實一點也又不簡單！在圓里，還隱藏著許多數學知識！
三、圓的各部分名稱與圓的特征
師：在這個圓里，中間的這個點叫圓心，用字母O表示，你還知道哪些數學知識？
生：半徑ｒ。
師：能上來畫一條半徑嗎？（生上來畫半徑）還有哪些知識？
生：直徑ｄ。
師：請你也上來畫一條，好嗎？（生上來畫直徑）
師：用自己的話說一說什么是半徑？
生：圓心到圓邊的線段。
師：圓邊在數學上叫做圓上。那什么叫做直徑呢？
生：路過圓心，兩個端點在圓上的線段叫直徑。
師：這只是我們感性的認識，要想得到更科學的概念，我們還得請教書本。
（自學書本第135頁找到半徑與直徑的概念，并讀一讀。）
師：半徑是連接圓心到原上任意一點的線段，這“任意一點”你是怎么理解的？
生：就是隨便哪一點都可以，圓上有無數個點，取一個點就可以。
師：現在請你在自己的圓內標出圓心，并畫一條半徑。
師：你還能畫多少條半徑（繼續(xù)畫）？畫的完嗎？
生：畫不完，有無數條？
師：你是怎么想的？
生：因為圓上有無數個點，都可以連接圓心成為半徑，所以有無數條半徑。
師：量一量這些半徑的長度，相等嗎？
生：半徑長度都相等，都是３厘米
師：你量了幾條半徑？
生：我量了２條。
師：憑什么說半徑長度都相等。
生：我們可以通過測量半徑是３厘米，而剛才的游戲規(guī)則就是要求每個點到到圓心的距離是３厘米。
生：我還可以用圓規(guī)來量（用圓規(guī)在圓上走一圈），兩腳的距離沒有變，所以說半徑都相等。
師：掌聲還在等什么？（眾生鼓掌）
師：現在我們已經研究了半徑的特征，現在可否想象一下直徑有多少條，長度都相等嗎？
生：直徑也有無數條，長度都相等。
師：直徑有無數條，我們可以借助半徑有無數條類比推理。那么直徑長度都相等，你是怎么知道的呢？
生：可以借助測量半徑的經驗，測的所有直徑 的長度都是６厘米。
生：還可以看出直徑是半徑的兩倍，半徑都相等，直徑肯定都相等。
師：直徑是半徑的２倍，你是怎么知道的？
生：直徑可以分成２條半徑呀？
師：真不錯，半徑和直徑的關系的秘密竟一眼被你看出來了。不過呆會兒我們還要用多種方法來證明。
（半徑與直徑的辨析練習。教師適時點出圓內、圓外、圓上等名詞）
師：拿出圓形紙片，怎樣可以找到圓心的位置？（學生操作，指導）
師：這個同學用眼自信的找到了圓心，你們覺得對嗎？
生：一看就知道圓心位置找偏了。
師：那該用什么方法來確定圓心的位置？
生：對折再對折的方法可以找到圓心。
師：所以我們還需要用更方便、更科學的方法尋找圓心。
師：同桌合作，通過折一折、量一量、比一比的方法研究圓的半徑與直徑的關系？并說明你是用什么方法來證明？
生：我是量一量的方法，半徑是３厘米，直徑６厘米，所以直徑是半徑的２倍。
師：用測量法證明，直徑是半徑的２倍，還可以說半徑是直徑的二分之一。
生：比一比的方法，一條直徑可以看成２條半徑，所以直徑是半徑的２倍。
師：用觀察法證明，很不錯。還有其他方法嗎？
生：我是用折一折的方法，對折以后有一條直徑，再對折變成了２條半徑，所以直徑是半徑的２倍。
師：太了不起了，如此抽象的數學知識，在你們的手里竟如此簡單地迎刃而解了。
師：難道圓規(guī)僅僅只能畫半徑是３厘米的圓嗎？我想畫的更大些，怎么辦？
生：圓規(guī)的兩角距離拉大。拉到４厘米。（師畫了一個同心圓）
師：還能再大嗎？（能）能比３厘米小一些嗎？（能）
師：什么決定了圓的大?。浚ò霃剑?/p>
師：這兩個圓雖然大小不同，什么是相同的？（指出數學上稱為同心圓）
師：剛才得出結論半徑都相等，這兩條半徑相等嗎？（不相等）看來剛才的結論還需要增加一個條件。（同圓、等圓內）。
師：我想到其他的位置畫圓，該怎么辦？是什么決定圓的位置？（圓心）
四、鞏固拓展
師：《周髀算經》里有這么一句話“圓出于方，方出于矩”，所謂“圓出于方”就是說最初的圓并不是由圓規(guī)畫成的，而是由正方形不斷的切割而成的。如果告訴你正方形的邊長是10厘米，你能知道圓的半徑與直徑嗎？
生：半徑是５厘米，直徑１０厘米。
師：到現在美術老師還會用這種方法教我們畫圓。其實關于對圓的研究，何止只有一部《周髀算經》呢？二千多年前，我國古代思想家墨子就提出：圓，一中同長也。你知道一中什么意思？（一個圓心）同長呢？（半徑同樣長，直徑同樣長）這個發(fā)現比西方整整早了1000多年。你們感到自豪嗎？
師：體育老師想在操場上畫一個比較大的圓，難道還用圓規(guī)？
生：畫個正方形，再切割成圓。
師：活學活用呀，不過太麻煩了。
生：用繩子固定在圓心。另一邊旋轉就可以畫圓了
師：老師就準備了這樣的釘繩工具，你們倆上來畫一個圓，好嗎？（生畫圓）
師：這些方法與圓規(guī)畫圓的方法有什么共同的地方？
生：圓心固定不動。有一個固定長度，不能發(fā)生改變。
師：真是了不起，“沒有圓規(guī)，也成方圓?！?/p>
師：自行車輪子為什么選用圓形，而不選用三角形與正方形？
生：用圓形沒有阻力，三角形與正方形有棱有角的，不好滾。
師：難道用圓形做輪子就可以嗎？（課件演示車軸在圓心和不在圓心的兩種情況）
生：車軸應該安在圓心，這樣所有的半徑都相等，車子就會平穩(wěn)。
師：原來車輪里也蘊含了數學知識。巧妙地利用了同一個圓里所有半徑都相等這一特征，所以車子跑起來又快又穩(wěn)。
五、課堂總結（略）
【自我反思】
整堂課以圍繞感知、體驗和深化圓的本質屬性的學習框架而展開。游戲環(huán)節(jié)以初步感知圓是到定點距離等于定長的點的集合；畫圓環(huán)節(jié)以體驗圓是確定固定長度（半徑）圍繞固定點（圓心）旋轉一周形成的封閉圖形；練習環(huán)節(jié)在多樣的畫圓方法中，提煉出畫圓的共同點，深刻理解圓的本質屬性。我引領學生用“點的軌跡”思想學習圓的本質屬性，得到了成功的嘗試，總結起來有以下幾點體會：
一、返樸歸真——用數學的本質魅力來吸引學生
創(chuàng)設情境有利于調動學生的學習興趣與欲望，但最終能夠真正持久地吸引學生的是數學的本質魅力，它才是維系學生不懈學習數學的源泉。課堂上我沒有創(chuàng)設情境，但學生在學習活動中投入了極大的熱情，這股熱情源于學生對數學本身魅力的吸引，源于對數學思考的挑戰(zhàn)，源于對數學真理的追求。為什么“在白紙畫一個點，然后再畫一些點，要求到第一個點的距離都是3厘米?！毙纬傻膱D形會接近于圓形？而當有無數個這樣的點就會形成一個圓形，究竟里面隱藏著怎樣的奧秘？是數學的本身魅力吸引著學生。更重要的是，利用這樣一個畫點平臺，用圓規(guī)將它補充成一個圓的時候，半徑與直徑的特征就在潛移默化中悄悄解決了?！盀槭裁磮A有無數條半徑？”“因為圓上有無數個點，都可以連接圓心成為半徑，所以有無數條半徑?！薄盀槭裁此械陌霃降拈L度都相等？”“我們剛才的游戲就是要求每個點到到圓心的距離是３厘米。”“我還可以用圓規(guī)在圓上走一圈，兩腳的距離沒有變，所以說半徑都相等。”看似非常簡單的畫點游戲，卻蘊含了深刻的哲理——圓的本質屬性：圓就是平面內到定點距離相等的點的集合。
二、數學思考——有效操作最終為思維的深刻性服務
數學課堂中，數學操作有利于學生數學的思考，但是操作僅僅是作為學習的手段，把它作為“拐杖”，最終實現操作活動數學化。按照皮亞杰的觀點，在操作活動數學化的過程要讓學生積累豐富的感性經驗，再在這個基礎上作反省抽象，從而認識概念的本質內涵。所以教師要引導邊操作、邊思考，逐漸在頭腦中建立一定的數學模型，最終使他們能夠脫離操作進行數學的思考，實現知識的建構。圓的半徑有無數條這一特征，假如想利用操作理解這一特征實在很抽象，但是借助畫點這一有效操作手段建立一個認知經驗，再通過有效操作后的合理想象，比較容易得出圓有無數條半徑，以此類推出圓的直徑有無數條也是水到渠成。同時在解決半徑與直徑之間的關系時，通過測量法、觀察法、折疊法來學習數學時，我們在操作時只研究了一條直徑與對應的兩條半徑存在的倍數關系，但是借助不斷的想象與推理，以此類推：任何一條直徑都有與之相對應的兩條半徑，最終得出一條直徑等于兩條半徑。可以說，此時的操作并不是主要學習的手段，反而數學的思考——想象、推理成為學習圓的特征主要學習方式。這些有價值的數學思維，隨著學生年齡的增長，越來越顯現出其重要的地位與作用。
三、文化底蘊——數學學習過程中實現數學知識與數學文化有機融合
數學史料是不僅僅只作為課堂教學的一種點綴，更重要的是通過學習內容的融合中品味其中的含義，用于鞏固、深化和拓展對圓的知識。課始，在簡單而抽象的圓中展開想象：圓讓你聯(lián)想到生活中的什么物體，老師適時地呈現收集到的精美圖片，然后引用古希臘數學家的一句話：“在一切平面圖形中，圓是最美的?！庇辛诉@樣的一種親身體驗美的過程，對圓的思考與研究就添加了有效的催化劑?！吨荀滤憬洝逢P于圓的記載：圓出于方，方出于矩。最初畫圓并不是由用圓規(guī)畫的，而是由正方形不斷的切割而成的。事實上，這種方法至今仍在沿用，美術老師還會用這種方法教我們畫圓，進一步思考，如果正方形的邊長是１０厘米，你能想到圓的直徑與半徑的長度嗎？在默默學習古人畫圓方法的過程中，體會到原來自己美術課上畫圓的方法也有這樣一段美麗的典故呢？數學文化正悄悄滋潤著每位學生的心田。其實古人關于圓的研究，又何止一部《周髀算經》呢？二千多年前，我國古代思想家墨子就提出：圓，一中同長也。請你運用所學知識解釋墨子研究的成果。練習設計一個數學文化滲透，一個技能練習（求半徑和直徑），一個用圓的知識解決生活中的問題（且落實了畫圓的技能），一個是分析生活中的現象。在落實知識與技能的同時，學會用數學的眼光分析生活問題，學習有價值的數學，精彩地演繹著數學文化。在不斷學習與深化的過程中，始終有偉人與史料做伴，數學文化使得數學課堂變得豐滿而圓潤。
