愛華網不記得這個博客是什么時候建立的了。這一年多來，忙于惡補數學，便忘了它。先貼上一篇關于數學分析基礎學習所用到的書單吧，存檔并使自己有個找處。
微積分（叫數學分析也行），在今天就跟掰手指計數一樣，是一種非常基本到不可或缺的知識了。先說教材——
1. Tom M. Apostol, Calculus, Vol.I & II, SecondEdition, John Wiley & Sons, 1967, 1969
如果要快速入門，這本書是一個比較好的選擇。第一卷副題為：One-Variable Calculus, with anIntroduction to Linear Algebra，第二卷的副題為：Multi Variable Calculus andLinear Algebra, with Applications to Differential Equations andProbability。單變量、多變量微積分，線性代數，微分方程，概率論都有了。這個兩卷本大約1300多頁，不過，靠著這點東西，一般的書上所用到的數學基本就都能看明白了，從這個角度說，讀這本書是很劃算的。而且，即使是想要學數學，讀過這本后，從哪個方面深入就都有了必要的“先修”知識了。
另外，推薦這本書還有一個很重要的原因，就是它的敘述是比較historical，這不僅對了解微積分的來龍去脈有好處，還對理解微積分的本質有幫助。用這本書做第一教科書的話，那么下一本可以略過。
2. R.Courant & F.John, Introduction to Calculusand Analysis, VI & VII/1,2, Springer(1989),世圖影印版。
本書的原始版本是1927年的德文版。微積分教材成為今天這個樣子，就是這本書奠定的。在此之前，微分與積分都是分開論述的，如本書前言所說，這就掩蓋了微分與積分的互逆關系，我們知道，這種互逆關系是十分重要的。正是Courant使微積分成為一門統(tǒng)一的學問。1934年，James和McShane合作，對原著作了增訂而出版了英文版，美國也隨之大量印行。可以想象，活躍于20世紀數學、科學和工程界的人，有多少是從這本書啟蒙的。從影響力與發(fā)行量上來說，說它是20世紀最經典的數學教材，一點都不為過。
1965年，F.John與Courant合作，出了個改寫本，以適應當時的需要。本書就是這個1965版本。有不少人說它過時了，但仔細想想，我們現在的數學分析或者微積分教材基本上還是蘇聯(lián)1950年代的樣子（何況還沒抄全），憑什么說1965年的Courant就過時了呢？這本書有中文版。我還記得剛上大學的時候在圖書館見到它的中文版時的激動，可惜還回去后就再也借不回來了。應該是70年代末翻譯的吧。
在我看來，這是最好的一本入門教材了。剛開始學習微積分的時候，那種寫得很教條化的書是不太好用的。親切而易于理解并直達核心，是這本書最大的特色。這里的習題從容易的到艱難的都有，能把它們都做了，基本上也就不再需要害怕傳統(tǒng)微積分方面的習題了。稍微有點耐心的話，那么，用這本書做第一教科書是最好的。
進一步的提高，我推薦這本書——
3. H.Amann & J.Escher, Analysis, BirkhauserVerlag, 2005-2009
三卷。原著是德文，2001年才出的德文版，絕對新鮮。非常非常值得去啃啃的一本書。Courant是入門，這本書是提高到“現代化”的讀物?？纯唇裉烊藗兪侨绾翁幚砦⒎e分的，對今后的學習是有好處的。所以我不認為讀一本書就夠，而列出了兩本必讀教材。
以上三本書，1和2可以選擇一本作為第一教科書，完事以后，3是一定要讀的。我覺得 Amann的這本書，比目前國內備受追捧的卓里奇要好，觀點也更高。
參考書——
R1. M.Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley, 1965
好像也有中文版的。這本書的特色就如其副題所說：A Modern Approach to Classical Theorems ofAdvancedCalculus.也就是說，它的方法很現代，但內容卻是經典的。這本書一定要看看，而且它不難讀，還只有一百多頁。另外，這本書里的一些題似乎是有意在引導讀者去學習如何做一個題目，技巧上不難，但要做得像個數學家的樣子就不是一件容易的事了。從這個意義上說，讀這本書是一個訓練自己工作能力的機會。作者還有更厲害的大部頭著作：AComprehensive Introduction to DifferentialGeometry。五卷，其中第一卷就是講微分流形的，做題的時候可以參考一下。這本書可以在讀完 Courant之后就讀一下，也可以邊讀這個，邊開始Amann。雖然流形上的微積分其他書都會講到，但集中地在本科水平上講這個主題，這本書是比較合適的。
注意，不要以為讀過這本書就真正懂得流形上的微積分了。從單變量到高維，還涉及一個觀念的大改變。僅僅認為這只是一個推廣，那是不行的，而是要反過來把古典微積分視為現代微積分的一個特例，例如微分就是微分形式的特例（具體的就不在這里舉例了）。當然，我們可能沒有足夠的能力一開始就學現代微積分然后再回頭看古典的，所以循序漸進還是必要的也是不得已的，但是，從這本書開始，我們就需要準備讓觀念轉型了。這也是我為什么建議在讀完Courant 后就先把這本書讀掉的原因。這樣，在讀 Amann 的時候，就會對一些“新鮮”（相對于 Courant來說）的東西多加點注意，也許能思考到比較深入的地方去。當然，要了解現代微分學，還得看 Henri Cartan的書（高教近年出的法蘭西數學精品譯叢中有他的一本《微分學》。如果有興趣，可以找原文或者英譯本來讀讀看，都非常值得讀。）不過，在現在這個階段，可能還沒有足夠的知識來支持自己去讀這本書。所以，我給出下面這一本——
R2. L.H.Loomis & S.Sternberg,高等微積分（修訂版），王元等譯，高教。
這本書要求的預備知識不多，學過單變量微積分就夠了。此書前半部分講賦范空間里的微積分，后半部分處理微分流形上的微積分。與大多兼顧古典與現代的微積分教材（例如這里列出的其他那些冠以數學分析名頭的書）不同，這本書是真正現代觀點的。更為可取的是，它在開頭一小部分給出了精確的數學證明的范例（甚至比一般以形式化自夸的書更加形式化和謹慎）后，就轉而用起了數學口語，而這種不那么形式化的表達正是數學家思考問題或者討論時使用的語言。雖然是作為參考書列出來的，但一定要好好讀通它。這也是在這個系列里唯一一次進入到現代數學的機會，以后讀分析，都應該記得這里給你的觀點。不過，這本書（其實整套書都是）的翻譯和編輯印刷問題多多，最好是找原文來看。
R3. 迪厄多內，現代分析基礎，第一、二卷。
沒有Amann的話，簡直就想把它當做教科書。這通常不會用來做教科書的，但很多人在學數學分析的時候，從這本書里受益匪淺。套用克萊因的一個書名，可以叫它“高觀點下的數學分析”，而且，與Amann不同的是，迪厄多內專注于提供觀點。
R4. Tom M. Apostol, 數學分析（原書第2版），邢富沖等譯，機械工業(yè)出版社，2009，華章數學譯叢
有空的話看看這本也是有益的。這本書在美國算是“標準”的數學分析教科書了，從中可以知道美國人現在都在教些什么。不過最后一章可以不看，那是屬于解析函數論的東西了。前16章反映了現代數學分析的“經典”內容。在讀過Courant + Amann 后，讀這本書就是小菜一碟了，只是為了知道一下行情而已。其實，有后面的 baby Rudin也就差不多了。
R5. G.H.Hardy, 純數學教程（紀念版），張明堯譯，人民郵電出版社，2009，圖靈數學統(tǒng)計學叢書
為什么要提出這本百歲老書？它對微積分或者說數學分析的內容講得很不完整（用今天的眼光看，哪怕是用 Courant的眼光看），但是，Hardy在書里給出了很多細節(jié)以及處理它們的技巧，這在今天的教科書里往往是不太受重視的，而數學恰恰就是由這些東西建立起來的，從中可以感受到做數學是怎么回事。所以，我的建議是，此書必讀，而且，盡量獨立把它的雜例做出來。另外，可以玩玩他與Littlewood 和 Polya 合著的Inequalities。
R6. 菲赫金哥爾茨，微積分學教程，高教，俄羅斯數學教材選譯。
在這本書里看不到今天數學分析教材中那些實變、泛函的援助之手，甚至連集合符號都不用，老土，然而絕對經典，堪稱以古典方式處理數學分析的最高成就。中國過去的數學分析教科書大多是從這本書里剪貼來的，所以，讀這本就可以把國產的數學分析教材都丟開了，這就是我在這里完全沒有考慮國產教材的原因。如果真想學好數學，這是一個訓練嚴格的數學工作方式的機會：把這本書里例題當習題做一遍，并把所有定理的證明全都自己推一遍。按這個要求，這本書會耗去我們不少時間，所以什么時候完成，就不必管它了，可以慢慢來的，如果做膩味了，也可以把它丟開的，因為這只是一次經歷而已。如果還想知道現在的俄國人對本科數學分析有什么要求的話，那么可以參考一下阿黑波夫的《數學分析講義》，也是高教近幾年出的。那就是他們的大綱。不過，阿黑波夫不需要細讀。
下面再給出幾本科普性質的書。不過，畢竟還是真正的數學書，不能指望沒點點數學能力就可以讀通它們。
R7. E.Hairer & G.Wanner, Analysis by ItsHistory, Springer, 2008
很有意思的一本書。對歷史的了解有助于更好地理解微積分。當然，為了對理論有個方便的描述，這本書也不是一個完全的歷史書。
R8. F.E.Burk, A Garden of Integrals, 2007 by The MathematicalAssociation of America
比較齊全地介紹了積分的發(fā)展過程。
R9. Jost, Postmodern Analysis, Third Edition, Springer,2005
講法完全不同的微積分。不過，不要被書名嚇到，后現代也就是一點點微積分加一點點實分析。當科普吧，至少從中可以了解一下時尚。
參考書是個無底洞，隨機應變吧。
最后說說習題。數學是算出來的，這句話是老生常談了，我也認為題是一定要做的。不過，著名的吉米多維奇的習題集不必去做。那是我讀大學時流行的，流行的原因大概是因為當時也沒什么可選擇的余地?，F在對吉米普遍的看法是它不合適數學系的學生。支持吉米的則認為學微積分首先就要會計算，然而，我覺得計算功底看的是快和準，而不是難度，因此，與其做吉米，不如去做《托馬斯微積分》上的題。
E1. W.Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rdEdition
這就是著名的babyRudin，是本非常精煉的教科書，而且美國“標準”的數學分析內容它也基本上都講到了。但我不把它當教科書用，而是說，去做它上面的每一個題，解答它已經解答了的每一個例題，證明它已經證明過的每一個定理。要獨立地推出一部數學分析來，當然是有點難度的，所以會參考很多其他的書。如此推敲一遍，不僅鍛煉了能力，同時也相當于背下來一本數學分析字典。這本書也的確是被很多人當做字典用的，建議在開始讀第一教科書的同時就同時閱讀這一本，這個時候也許不需要做上面所說的那種練題功課，但請把它讀一遍。比如跟Courant 同時讀吧，那是一件很有意思的事，兩個時代，兩種風格，而且，我的經驗是，baby Rudin 有時候還真的能幫我理解一些Courant 里的概念。
E2. 林源渠、方企勤等編，數學分析習題集。
這是國內公認最好的習題集，的確不錯。配套的還有習題課教材，當然也會有數學分析教科書。不過，那兩本都沒必要去讀，而且還是最好不要讀。不是說它們寫得不好，而是讀了反而會影響解決問題的思維，完全獨立地把習題集上的題目做出來更好些。這本習題集最好在讀完Courant 和 baby Rudin后，集中起來做一遍，用來考驗自己的能力以及對學過的東西的掌握程度。這也是我很少隨著教科書而推薦它配套的習題集的原因。教科書上本身的習題對幫助我們理解與鞏固知識已經足夠了，習題集是用來考自 己的。
E.3 George Polya and Gabor Szego, Problems and Theorems inAnalysis
有中文版。嚴格來說，這其實可以算一部教科書了，是以習題方式來講數學的書。好好地做做這本書，對數學能力的提高有非同尋常的幫助。不過，只學到數學分析的這個份上，大約只能做做它的第一和第二部分。這是真正的難題，千萬不要因為怕難而去挑題目，那樣很可能一個題目也做不了。想辦法去解決問題吧，哪怕是抄，也比看到難題繞道而行要好。
也許還應該補充幾句。數學分析，或者微積分，在通常被數學分析的課程中是不容易真正學懂的，尤其是現代分析對此還有一點點顛覆。在多元函數微積分上，特別是涉及到外微分的時候，這里的書并不足夠解決所有的疑惑。如果想解決那些困惑，我想，后來的實變和泛函是一定要學的。或者，試著看看Cartan的微分學，如果能懂，那就算了，如果不是太明白，那就乖乖地學一下實變和泛函的課程吧，那時候，回頭來看微積分，很多東西就變得簡單、嚴格而優(yōu)美了。
