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這一次我們帶給大家的是有關(guān)于圓錐體積公式的得出。相信大家早在小學(xué)階段就已經(jīng)學(xué)過了圓錐體積 V=1/3sh，也就是底面積×高再除以3，大家有沒有想過這是為什么呢？
首先，我先向大家說明一下思路：大家是否還記得圓的面積怎么求嗎？對了，它用的是一種叫做“無限等分”的方法來得出一個近似的長方形。圓錐也可以把它看做是無數(shù)個同高不同底的圓柱疊加而成，然后作出一個無限近似的圓錐，如果有不了解的可以去圖片那里看一看有關(guān)的圖片。
好的，思路介紹 完了就要進入正軌了。首先，我們要說明一個定理：在一個直角三角形內(nèi)1/x高（距離頂點）的地方的底是原底的1/x。
看一下圓錐的剖面，一個等腰的三角形，沿高切開就成了一個直角三角形，它的底就是圓錐的r，高就是圓錐的h；由上面的定理可以得出在圓錐距離頂點h/x處的r是r/x。也許會有人不了解為什么“在一個直角三角形內(nèi)1/x高（距離頂點）的地方的底是原底的1/x”，我來解釋一下——假設(shè)那個三角形的原底是a，在h/x的地方的底是b，那么根據(jù)勾股定理得出：h÷a=h/x÷b然后是b/a=1/x最后a/b=x所以a×（1/x）=b。
圓柱體積的公式是：πr²h圓錐的就是v={[（1/n）r]²（h/n）π}+{[（2/n）r]²（h/n）π......+{[（1/n）r]²（h/n）πn的值取決于你要把圓錐分成幾份，當然，這個值當然越大越好。[（1/n）r]²可以化為（1/n）²×r²公式優(yōu)化完之后就變成了[（1/n）²+（2/n）².....+（n/n）²]×r²×h/n×π也可以是 [1²+2²......+n²]×r²×h/n×π÷n²
在這里要說一下，假設(shè)我們要求1²+2²......+n²，那么這個得數(shù)就等于n×（n+1）×（2n+1）÷6。
這個公式是怎么得到的呢?在這里我做一個簡單的說明：在大紙上畫三個三角形，然后再頂點處標上1，下一行就是2個2，然后是3個3，一直到n個n，那么，這個三角形里面所有數(shù)字的總和就是這個連續(xù)平方的和，另一個三角形就把1標在左下角，然后右邊就是2個2，第三個就把1標在右下角，以此類推。那么，你會發(fā)現(xiàn)，在三角形的同一個位置上三個不同的三角形在該位置上的數(shù)字為2n+1，那么有多少個2n+1呢？有n*(n+1)/2個，兩個相乘再除以三九得到了：(2n+1)*(n+1)*n/6
最后得出來n×（n+1）×（2n+1）÷6×r²×h/n×π÷n²。
代入一下：n=100000 r=1 h=1π≈3.14100000×100001×200001÷6×1×0.000001×3.14÷10000000000=1.0466776566719用v=sh÷3得出約是1.046666666666667相差毫厘。
那么，為什么只是近似而不是正好是1/3呢？現(xiàn)在讓我們進入極限的步驟：
n*(n+1)*(2n+1)=(n^2+n)*(2n+1)=2n^3+2n^2+n^2+n=2n^3+3n^2+n
然后再用lim（limit）n→∞（2n^3+3n^2+n）/6n^3=1/3n^3于是我們就得到了圓錐的體積公式！
現(xiàn)在讓我們總結(jié)一下：我們是如何solve this problem的呢？首先我們先把它分成好多好多個小塊，然后再求出每個小塊之間的共同特征，然后再把它們壘在一起，復(fù)原這個圖形，然后再取極限（limit），我們就得到了它（圓錐）的體積公式。我們的第一步切分圖形，把圓錐切分成無限個小塊然后求它們之間的關(guān)系便是一個微分的過程；然后我們再把它們加起來取極限，這就是積分的過程；而我們把一個整體（圓錐）分成無數(shù)份和后面的取極限就是微積分（calculus）里面的極限。那么，我們所做的這一切就是一個微積分的過程了。
