§ 20.4正方形的判定

教學目標

1、知識與技能

掌握正方形的判定方法，并會用它們進行有關的論證和計算。

2、過程與方法

通過對比理解正方形判定方法與平行四邊形、矩形、菱形判定方法的聯(lián)系和區(qū)別，提高學生的邏輯推理能力。

3、情感、態(tài)度與價值觀

通過正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系的教學對學生進行辯證唯物主義教育。

重點與難點

1、重點：正方形判定方法的證明與靈活運用。

2、難點：正方形判定方法與矩形、菱形判定方法的聯(lián)系與區(qū)別。

教學方法

本節(jié)的主要內(nèi)容是正方形的判定方法，對于怎樣判定一個四邊形是正方形，因為層次比較多，不必分析的太具體，只要強調(diào)判定一個四邊形是矩形，又能判定這個矩形也是菱形?；蛘呦扰卸ㄋ倪呅问橇庑危倥卸ㄟ@個菱形也是矩形，就可以判定這個四邊形是正方形。實際上就是根據(jù)正方形定義來判定。

正方形的判定是平行四邊形、菱形、矩形判定的綜合?？梢酝ㄟ^本節(jié)的教學總結(jié)、歸納前面所學的內(nèi)容。還可以通過本節(jié)的教學，澄清學生存在的一些模糊概念。

教具準備

教學用三角板與圓規(guī)。

教學過程

一、復習引入

教師講解：本節(jié)課，我們將探究正方形判定定理。我們在這里的探究方法與前幾節(jié)相同。我們已經(jīng)知道，正方形是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形，正方形的定義是：既是菱形，又是矩形的四邊形是正方形。正方形有如下的性質(zhì)：①四條邊都相等；②四個角都是直角。

二、探究新知

（一）正方形判定方法1的探究

教師講解：我們可以證明，有一個角是直角的菱形是正方形，即有一個角是直角的菱形也是矩形。

教師提問這一結(jié)論如何證明，要求學生作簡要回答。學生回答后教師總結(jié)：如果一個四邊形是菱形，那么它就是平行四邊形，這個四邊形又有一個角是直角，則它又是矩形，所以是正方形。

（二）正方形判定方法2的探究

教師講解：我們還可以證明，有一組鄰邊相等的矩形是正方形。即有一組鄰邊相等的矩形也是菱形。

教師提問這一結(jié)論如何證明，要求學生作簡要回答。學生回答后教師總結(jié)：如果一個四邊形是矩形，那么它就是平行四邊形，這個四邊形又有一組鄰邊相等，則它又是菱形，所以是正方形。

（三）實例講解

1、教師提出問題：如圖20.4－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F。

求證：四邊形CFDE是正方形。

教師分析解題過程：要證明四邊形CFDE是正方形，可以先證四邊形CFDE是矩形，然后再證有一組鄰邊相等；也可以先證四邊形CFDE是菱形，然后再證有一個角是直角。

教師要求學生證明，學生證明后教師檢查證明過程，給予即時糾正。

證明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，

∴∠DFC＝∠DEC＝90°（直角定義）；

又∵∠ACB＝90°，

∴四邊形CFDE是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）。

∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE＝DF（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）。

∴四邊形CFDE是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）。

拓展知識：①如果把題的條件改成DE∥AC，DF∥BC，這個結(jié)論還成立嗎？②如果∠ACB不是90º，那么四邊形CFDE會是什么圖形？

你還會對上邊的題目做怎樣的變換呢？學生動腦思考，交流方法。

2、教師提問：老師給學生一個任務：從一張彩紙中剪出一個正方形。AC

小明剪完后，他這樣檢驗它：他比較了邊的長度，發(fā)現(xiàn)4條邊是相等的。小明就判定他完成了這個任務。這種檢驗方法可信嗎？

小兵用另一種方法檢驗：他量的不是邊，而是對角線。發(fā)現(xiàn)對角線是相等的。小兵就認為他正確地剪出了正方形。這種檢驗對嗎？

小英剪完后，比較了對角線相互分成的4條線段，發(fā)現(xiàn)它們是相等的。按照小英的意見，這說明給出的四邊形是正方形。你的意見怎樣？

你認為應該如何檢驗才能又快又準呢？

學生回答后教師給出正確答案：小明的檢驗方法只能說明剪的是菱形，不一定是正方形；小兵的檢驗方法不正確，不能說明剪的是平行四邊形，更不一定是菱形、矩形或正方形；小英的檢驗方法只能說明剪的是矩形，不一定是正方形。

正確的方法是先比較4條邊的長度，如果相等，則說明是菱形；再量一個內(nèi)角，如果是直角，則可以斷定它是正方形。

應用：如果我把一張紙換成一塊手帕，你能準確的判斷手帕是否是正方形嗎？

3、補充例題。已知：如圖20.4－2，四邊形ABCD是正方形，分別過A、C兩點作l₁∥l₂，作BM⊥l₁于M，DN⊥l₁于N，直線MB、DN分別交l₂于Q、P兩點。

求證：四邊形PQMN是正方形。

分析：由已知可以證出四邊形PQMN是矩形，再證△ABM≌△DAN，證出AM＝DN，用同樣的方法證AN＝DP，即可證出MN＝NP。從而得出結(jié)論。

證明：∵PN⊥l₁，QM⊥l₁，

∴PN∥QM，∠PNM＝90°。

∴四邊形PQMN是矩形。

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）。

∴∠1＋∠2＝90°。

又∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3。

∴△ABM≌△DAN。

∴AM＝DN。同理AN＝DP。

∴AM＋AN＝DN＋DP

即MN＝PN。

∴四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）

三、隨堂練習

課本第118頁練習第1、2題。

四、課時總結(jié)

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