為什么在哪兒都找不到牛頓萬(wàn)有引力計(jì)算公式的完整推導(dǎo)過(guò)程？

馬海飛

(http://blog.sina.com.cn/gfis2013年2月9日)

今天幾乎所有的教科書(shū)、文獻(xiàn)和相關(guān)網(wǎng)站都把“牛頓萬(wàn)有引力定律”及其計(jì)算公式的建立過(guò)程全部歸功于牛頓。

例如，在高中的物理教科書(shū)中就有這樣的描述：“牛頓在前人研究的基礎(chǔ)上，憑借他超凡的數(shù)學(xué)能力證明了：如果太陽(yáng)和行星間的引力與距離的二次方成反比，則行星的軌道是橢圓，并且闡述了普遍意義下的萬(wàn)有引力定律。”“下面讓我們來(lái)看一下牛頓是怎樣發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律的……?！薄芭ｎD在研究了這許多不同物體間遵循同樣規(guī)律的引力之后，進(jìn)一步把這個(gè)規(guī)律推廣到自然界中任意兩個(gè)物體之間，于1687年正式發(fā)表了萬(wàn)有引力定律：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比。……。用公式表示為：F=Gm₁m₂/r²?！?/p>

《維基百科》和《百度百科》則是這樣介紹的：“萬(wàn)有引力定律是艾薩克·牛頓在1687年于《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》上發(fā)表的?！比缓蠼榻B了萬(wàn)有引力定律的定義和數(shù)學(xué)表達(dá)公式。

其他文獻(xiàn)上的介紹也大同小異。

看了這些介紹之后，不能不給人這樣的感覺(jué)：今天教科書(shū)上講的那個(gè)“牛頓萬(wàn)有引力定律”和“牛頓引力計(jì)算公式”都是“牛頓在前人研究成果的基礎(chǔ)上按照科學(xué)觀察結(jié)果和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法一步一步推導(dǎo)出來(lái)的”。至少，在很長(zhǎng)一段時(shí)間里我本人就是這樣認(rèn)為的。而且?guī)缀跬耆珱](méi)有懷疑過(guò)。

但是，隨著我對(duì)引力現(xiàn)象和相關(guān)理論研究的不斷深入，越來(lái)越感到有必要去了解牛頓當(dāng)年是如何推導(dǎo)出萬(wàn)有引力公式的。于是，我就開(kāi)始到處查找。因?yàn)閾?dān)心看不懂牛頓的原著，因此就希望能夠先從教科書(shū)和文獻(xiàn)上找出推導(dǎo)的全過(guò)程來(lái)?？墒?，找到的推導(dǎo)過(guò)程都不能讓人滿(mǎn)意。例如在高中教材中大體是這樣介紹的：1）為了方便說(shuō)明問(wèn)題，把橢圓軌道簡(jiǎn)化為圓形軌道。2）圓周運(yùn)動(dòng)的向心力計(jì)算公式是：F=mv²/r。3）引力就是向心力。4）把圓周運(yùn)動(dòng)中的周期T 與速度v的關(guān)系式v=2π r/T代入上式就得到：F=4π²(r²/T²)m/r²。5）因?yàn)椋╮²/T²)是個(gè)常數(shù)，因此得到的結(jié)論就是：太陽(yáng)與行星之間的引力與行星的質(zhì)量成正比，與二者之間距離的二次方成反比。6）牛頓根據(jù)第三定律認(rèn)為：既然這個(gè)引力與行星的質(zhì)量成正比，當(dāng)然也應(yīng)該和太陽(yáng)的質(zhì)量成正比，因此就有F∝m₁m₂/r²這樣的關(guān)系式。寫(xiě)成等式形式就是F=Gm₁m₂/r²。

這樣的推導(dǎo)過(guò)程實(shí)在讓人無(wú)法接受，感覺(jué)有些“糊弄人”的味道。F=4π²(r²/T²)m/r²這個(gè)公式的確是推導(dǎo)出來(lái)的沒(méi)錯(cuò)，但從F=4π²(r²/T²)m/r²到F=Gm₁m₂/r²之間卻沒(méi)有了數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過(guò)程，而使用的是邏輯推理的方法。邏輯推理與數(shù)學(xué)推導(dǎo)是完全不同的方法。在推理過(guò)程中可以按照自己的意愿加入個(gè)人的主觀觀念，而在數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程中是無(wú)法加入個(gè)人觀念的。例如，牛頓認(rèn)為“引力大小與兩個(gè)物體質(zhì)量的乘積成正比”，為什么就不認(rèn)為“與兩個(gè)物體質(zhì)量的和成正比”呢？既然F=4 π²(r²/T²)m/r²已經(jīng)是一個(gè)力的計(jì)算公式了，為什么還要再加上一個(gè)物體的質(zhì)量把它變成F=Gm₁m₂/r²呢？很顯然，F(xiàn)=Gm₁m₂/r²這個(gè)等式是從F∝m₁m₂/r²這個(gè)關(guān)系式得到的。而F∝m₁m₂/r²這個(gè)關(guān)系式是從各種現(xiàn)象的推理中拼湊起來(lái)得到的。所以，可以肯定地說(shuō)，教科書(shū)中介紹的過(guò)程完全不能算是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程。因此，把教科書(shū)上的推導(dǎo)過(guò)程說(shuō)成是萬(wàn)有引力定律公式的推導(dǎo)過(guò)程是非常不恰當(dāng)?shù)摹?/p>

那么牛頓本人是如何推導(dǎo)萬(wàn)有引力公式的呢？從網(wǎng)上的討論中得知，牛頓是用微積分的方法推導(dǎo)出萬(wàn)有引力計(jì)算公式的。這些人一般都要加上這樣一句話(huà)：“萬(wàn)有引力公式的推導(dǎo)過(guò)程涉及到復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，很難講清楚”。這幾乎成了所有講不清楚萬(wàn)有引力公式推導(dǎo)過(guò)程的人所共同使用的一個(gè)借口。

為了搞清楚萬(wàn)有引力公式到底是如何推導(dǎo)出來(lái)的這個(gè)問(wèn)題，我最近終于鼓起勇氣把牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（簡(jiǎn)稱(chēng)《原理》）一書(shū)找來(lái)查閱了一番。實(shí)在讓人失望。這本書(shū)里根本就沒(méi)有“萬(wàn)有引力定律”這個(gè)“定律”，更沒(méi)有“引力計(jì)算公式”的影子。而與此形成鮮明對(duì)比的是，牛頓的“三大運(yùn)動(dòng)定律”則在書(shū)中寫(xiě)得清清楚楚?？梢?jiàn)，牛頓并沒(méi)有把他對(duì)萬(wàn)有引力現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)作為一個(gè)“定律”對(duì)待。雖然牛頓在《原理》中對(duì)萬(wàn)有引力現(xiàn)象中的一些規(guī)律做了描述，但這些描述都分散在書(shū)中不同的章節(jié)里。首先，牛頓研究的主要對(duì)象集中在圓周運(yùn)動(dòng)中的“向心力”上。他從數(shù)學(xué)上證明了向心力的大小與距離的二次方成反比關(guān)系。因?yàn)樵谒莻€(gè)時(shí)代，已經(jīng)普遍認(rèn)為在重力現(xiàn)象中，地球與地球表面物體之間存在“引力”關(guān)系，因此，在研究了向心力的基礎(chǔ)上，牛頓認(rèn)為，在重力現(xiàn)象中的引力就是圓周運(yùn)動(dòng)中的向心力。由此推理得出結(jié)論：引力的大小與距離二次方成反比。這一點(diǎn)不難理解。至于引力與兩個(gè)物體質(zhì)量的正比關(guān)系，牛頓的推論是：“一個(gè)球相對(duì)于另一個(gè)球的運(yùn)動(dòng)吸引，或二者間的相對(duì)重量，在相同的球心距離處，共同正比于吸引的與被吸引的球，即正比于這兩個(gè)球的乘積?！保ā对怼返谑旅}76定理36，推論3）。這一點(diǎn)就不太好理解了。因?yàn)檫@個(gè)結(jié)論沒(méi)有數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程的支持。緊接下來(lái)的推論4是：“在不同的距離處，正比于該乘積，反比于二球心之間距離的平方。”（這些都是后人用來(lái)建立引力公式的理論基礎(chǔ)。）有關(guān)“重力的萬(wàn)有性”，牛頓是這樣解釋的：“如果實(shí)驗(yàn)和天文觀測(cè)普遍發(fā)現(xiàn)，地球附近的物體都被吸引向地球，吸引力正比于物體所各自包含的物質(zhì)；月球也根據(jù)其物質(zhì)量被吸引向地球；而另一方面，我們的海洋被月球吸引向月球；所有的行星相互吸引；彗星以類(lèi)似方式被吸引向太陽(yáng)；則我們必須沿用本規(guī)則賦予一切物體以普遍相互吸引的原理。（《原理》第三篇，哲學(xué)中的推理規(guī)則規(guī)則3）。

顯然，“萬(wàn)有引力定律”并不是牛頓在《原理》中建立并提出來(lái)的，但萬(wàn)有引力定律所涉及到的現(xiàn)象和規(guī)律與牛頓的《原理》這本書(shū)確實(shí)密切相關(guān)。首先，牛頓對(duì)萬(wàn)有引力定律的最大貢獻(xiàn)就是“重力現(xiàn)象（gravity）的萬(wàn)有性”。在他之前，人們已經(jīng)知道地面上有“重力現(xiàn)象”（gravity），但不知道天體之間也存在同樣的“重力現(xiàn)象”。是牛頓發(fā)現(xiàn)了它們之間的統(tǒng)一性，也就是“重力現(xiàn)象的萬(wàn)有性”。這一點(diǎn)完全是牛頓的功勞。牛頓的另一個(gè)貢獻(xiàn)是他從推理中得出的“引力大小與兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比”這個(gè)結(jié)論。雖然牛頓不能對(duì)此結(jié)論給出更確切的解釋?zhuān)鼪](méi)有數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程，但這個(gè)結(jié)論并沒(méi)錯(cuò)（盡管不完善）。引力定律中的另一個(gè)要素是“引力與距離二次方的反比關(guān)系”。這個(gè)反比的關(guān)系似乎在當(dāng)時(shí)并不是只有牛頓一人看出來(lái)的。只不過(guò)，從數(shù)學(xué)運(yùn)算上證明這個(gè)關(guān)系成立的人只有牛頓一人而已。雖然這些內(nèi)容對(duì)萬(wàn)有引力定律的建立都十分重要，但牛頓本人卻沒(méi)有把它們組裝起來(lái)構(gòu)建一個(gè)完整的“萬(wàn)有引力定律”和“引力計(jì)算公式”。牛頓本人對(duì)《原理》一書(shū)修訂過(guò)兩次。最后一次是1726年。在修訂版的《原理》中也沒(méi)有出現(xiàn)“萬(wàn)有引力定律”這個(gè)定律。好像只有在書(shū)最后的“總釋”倒數(shù)第二段的結(jié)尾處以“thelaws of motion and ofgravitation”的形式算是直接提及到了這個(gè)定律。但這里的law所指的更像是“規(guī)律”而不是“定律”。而在一年后的1727年牛頓就與世長(zhǎng)辭了。可見(jiàn)牛頓并不知道世界上還有我們今天從教科書(shū)上學(xué)到的那個(gè)完整的“萬(wàn)有引力定律”及其計(jì)算式公式。

實(shí)際上，我們今天所見(jiàn)到的“牛頓萬(wàn)有引力定律”是后人根據(jù)牛頓發(fā)現(xiàn)的那些規(guī)律組裝起來(lái)的一個(gè)定律?！耙τ?jì)算公式”也是根據(jù)萬(wàn)有引力定律的理論“組裝”而成的，并不是用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出來(lái)的。首先根據(jù)牛頓的“論述”建立了F∝m₁m₂/r²這個(gè)關(guān)系式，然后在這個(gè)關(guān)系式的基礎(chǔ)上把它完善成了F=Gm₁m₂/r²這個(gè)等式。其實(shí)，對(duì)這個(gè)等式的最后確立做出功不可沒(méi)貢獻(xiàn)的人是卡文迪許。因?yàn)樗门しQ(chēng)確定了引力常數(shù)G的數(shù)值。在這個(gè)數(shù)值確定之前，F(xiàn)∝m₁m₂/r²和F=Gm₁m₂/r²都沒(méi)有任何實(shí)用價(jià)值?？ㄎ牡显S是1797年完成他的實(shí)驗(yàn)的。距離牛頓去世整整過(guò)去了70年。從此以后，萬(wàn)有引力定律才真正成為一個(gè)物理學(xué)定律，并確立了它在科學(xué)理論研究和實(shí)際應(yīng)用上的重要地位。

雖然引力定律的計(jì)算公式從卡文迪許至今已經(jīng)應(yīng)用了二百多年，但實(shí)際上引力公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程依舊還是一個(gè)謎。盡管今天偶爾可以看到有一些人試圖用微積分等復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法去推導(dǎo)牛頓的萬(wàn)有引力公式，但是結(jié)果都是把人給“推暈了”。根本看不懂他們是怎么推導(dǎo)的。就像如果一個(gè)人說(shuō)出來(lái)的話(huà)別人聽(tīng)不懂就跟沒(méi)說(shuō)的道理一樣，如果一個(gè)推導(dǎo)過(guò)程是別人無(wú)法看懂的話(huà)，那個(gè)推導(dǎo)是沒(méi)有任何意義的。

我在2009年因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)“質(zhì)量場(chǎng)”而建立了一個(gè)物理學(xué)模型，并根據(jù)這個(gè)模型用“質(zhì)量場(chǎng)”理論推導(dǎo)出了萬(wàn)有引力計(jì)算公式^[1]。因?yàn)楫?dāng)時(shí)對(duì)上述這些真相不太了解，因此并沒(méi)有意識(shí)到我建立的推導(dǎo)過(guò)程的科學(xué)意義有多大?，F(xiàn)在了解了真相以后才知道，我建立的推導(dǎo)過(guò)程竟然是有史以來(lái)唯一的一個(gè)可以推導(dǎo)出牛頓引力公式的完整的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程。其意義之重大遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了我當(dāng)時(shí)的想象。

由于牛頓引力定律的公式不是推導(dǎo)出來(lái)，因此，無(wú)法知道公式中的“平方反比定律”和“引力常數(shù)”的物理意義是什么。而且，長(zhǎng)久以來(lái)，人們一直以為引力常數(shù)G是一個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)值，只能通過(guò)測(cè)量獲得，不能通過(guò)計(jì)算獲得。人們更無(wú)法從牛頓引力公式中獲得引力來(lái)源的信息。

相比之下，因?yàn)槲业耐茖?dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)單完整，因此可以從推導(dǎo)過(guò)程中解決所有與引力現(xiàn)象以及引力公式有關(guān)的問(wèn)題。例如對(duì)上述問(wèn)題的答案是：平方反比定律來(lái)自質(zhì)量場(chǎng)密度：D=M/4πr²。引力常數(shù)的物理意義在于4πG=g/D這個(gè)等式中。也就是說(shuō)，它是一個(gè)引力加速度與質(zhì)量場(chǎng)密度之間的比例常數(shù)（轉(zhuǎn)換系數(shù)）。同時(shí)也就可以知道，引力常數(shù)G是完全可以通過(guò)g和D計(jì)算出來(lái)的。不僅如此，從質(zhì)量場(chǎng)密度推導(dǎo)出來(lái)的引力加速度計(jì)算公式是：g=G_mD。這個(gè)公式從直觀上就告訴我們，引力加速度是由質(zhì)量場(chǎng)密度決定的。說(shuō)明引力加速度來(lái)自質(zhì)量場(chǎng)。又因?yàn)橐?lái)自引力加速度與第二個(gè)物體的質(zhì)量：F=mg，所以，從F=mG_mD這個(gè)新的引力計(jì)算公式中就直接顯示出了“引力的來(lái)源就是物質(zhì)的基本屬性（質(zhì)量和質(zhì)量場(chǎng)）”這個(gè)事實(shí)，具體說(shuō)就是第二個(gè)物體的質(zhì)量和第一個(gè)物體的質(zhì)量場(chǎng)密度D。

由此可見(jiàn)，一個(gè)物理學(xué)公式的推導(dǎo)過(guò)程對(duì)了解一個(gè)物理學(xué)理論是多么地重要了。眾所周知，今天在物理學(xué)基礎(chǔ)理論上，關(guān)于萬(wàn)有引力仍然存在非常多的問(wèn)題，從某種意義上看，這些問(wèn)題得不到解決的原因可以說(shuō)是因?yàn)檎也坏脚ｎD萬(wàn)有引力公式的推導(dǎo)過(guò)程導(dǎo)致的。所以，找出牛頓引力公式的推導(dǎo)過(guò)程萬(wàn)分重要。既然物理學(xué)家們都認(rèn)為，所有的物理現(xiàn)象都可以用數(shù)學(xué)的方法表現(xiàn)出來(lái)，他們就應(yīng)該相信牛頓的萬(wàn)有引力公式也完全應(yīng)該是可以用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出來(lái)的。然而，據(jù)我所知，到目前為止，除了我的方法以外，竟然沒(méi)有任何人可以用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出牛頓萬(wàn)有引力公式。因此，我認(rèn)為我對(duì)萬(wàn)有引力現(xiàn)象的理解和解釋都是正確的。當(dāng)然，假如還有其他人能夠從不同途徑更簡(jiǎn)單地推導(dǎo)出這個(gè)公式的話(huà)，我將參考他的推導(dǎo)過(guò)程重新考慮我的解釋。

總之很明顯，今天在任何正式出版物上都找不到牛頓引力公式推導(dǎo)的詳細(xì)數(shù)學(xué)過(guò)程。其原因就是因?yàn)榕ｎD的萬(wàn)有引力公式并不是用數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出來(lái)的，而是根據(jù)牛頓的推論組裝起來(lái)的緣故。但因?yàn)檫@個(gè)公式在使用過(guò)程中證明是對(duì)的，因此它一定會(huì)有一個(gè)可以通過(guò)數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出來(lái)的簡(jiǎn)單和完整的過(guò)程。而對(duì)諸多有關(guān)“萬(wàn)有引力”理論問(wèn)題的答案，可以說(shuō)很大程度上都取決于萬(wàn)有引力公式的推導(dǎo)過(guò)程。只要知道了這個(gè)公式具體完整的推導(dǎo)過(guò)程，理論問(wèn)題就有可能隨之得到解決。幸運(yùn)的是，我們現(xiàn)在至少已經(jīng)有了一個(gè)可以用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)萬(wàn)有引力公式的過(guò)程。

從萬(wàn)有引力定律的建立過(guò)程上可以看出一些值得注意的問(wèn)題。首先，牛頓的研究方法是否正確值得懷疑。他的方法用他自己的話(huà)講就是：實(shí)驗(yàn)哲學(xué)（experimentalphilosophy）。牛頓在《原理》結(jié)尾的“總釋”中這樣寫(xiě)到：“在（實(shí)驗(yàn)）哲學(xué)中，特定命題是根據(jù)現(xiàn)象推斷出來(lái)的，然后才用歸納方法做出推廣。（In [experimental] philosophy particularpropositions are inferred from the phenomena and afterwardsrendered general by induction.）”這個(gè)方法的危險(xiǎn)性在于：如果分不清“現(xiàn)象”與“假象”的話(huà)，推斷出來(lái)的命題就可能是錯(cuò)誤的。因?yàn)椤凹傧蟆币彩恰艾F(xiàn)象”。所以牛頓“根據(jù)現(xiàn)象做出推斷”的方法是不可靠的。在重力現(xiàn)象（gravity）中的確存在“相互吸引的現(xiàn)象”，然而，這個(gè)“相互吸引的現(xiàn)象”真的是因?yàn)橛小耙Φ淖饔谩辈懦霈F(xiàn)的嗎？它難道不會(huì)是一個(gè)假象嗎？就像太陽(yáng)從東方升起在西方落下的自然現(xiàn)象的那種假象一樣。所以，在沒(méi)有搞清楚gravity中的“相互吸引作用”到底是不是假象之前就冒然把它說(shuō)成是“引力”的做法

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