3321

L9(34)是什么意思呢?字母L表示正交表；數(shù)字9表示這張表共有9行，說明用這張表來安排試驗要做9次試驗；數(shù)字4表示這張表共有4列，說明用這張表最多可安排4個因素；數(shù)字3表示在表中主體部分只出現(xiàn)1，2，3三個數(shù)字，它們分別代表因素的3個水平，說明各因素都是3個水平的．一般的正交表記為Ln(mk)，n是表的行數(shù)，也就是要安排的試驗次數(shù)；k是表中列數(shù)，表示因素的個數(shù)；m是各因素的水平數(shù)。

常見的正交表如下：

（1）2水平正交表——L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)等。

這幾張表中的數(shù)字2表示各因素都是2水平的；試驗要做的次數(shù)分別為4，8，12，16；最多可安排的因素分別為3，7，11，15。

（2）3水平的正交表——L9(34)，L27(313)。

這兩張表中的數(shù)字3表示各因素都是3水平的，要做的試驗次數(shù)分別為9，27；最多可安排的因素分別為4，13。

（3）4水平的正交表——L14(45)。

（4）5水平的正交表——L25(56)。

正交表有下面兩條重要性質(zhì)：

(1)每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)，每列中不同的數(shù)字是1，2，3，它們各出現(xiàn)3次；

(2)在任意兩列中，將同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9(34)，有序數(shù)對共有9個：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，它們各出現(xiàn)一次。

由于正交表有這兩條性質(zhì)，用它來安排試驗時，各因素的各種水平的搭配是均衡的，這是正交表的優(yōu)點。

下面通過具體例子來說明如何用正交表進行試驗設(shè)計。

例1某煉鐵廠為了提高鐵水溫度，需要通過試驗選擇最好的生產(chǎn)方案。經(jīng)初步分析，主要有3個因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風(fēng)壓和底焦高度，每個因素都考慮3個水平，具體情況如表2。問對這3個因素的3個水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度?

表2實驗因素與水平

解: 正交表L9(34)

這九個實驗代表了全部27個實驗。按照9個實驗方案進行實驗，結(jié)果見表3。

表3按實驗方案實驗結(jié)果

為了便于分析，將結(jié)果與正交表合編，以便利于計算。由于鐵水溫度數(shù)值較大，可把每一個鐵水溫度的值減去1350，得到9個較小的數(shù)，這樣使計算簡單（表4）。

表4

表4中下面的8行是分析計算過程中需要分析的內(nèi)容。

K1這一行的3個數(shù)，分別是因素A，B，C的第1水平所在的試驗中對應(yīng)的鐵水溫度(減去1350以后)之和。比如對因素A(第1列)，它的第l水平安排在第1，2，3號試驗中，對應(yīng)的鐵水溫度值(減去1350以后)分別為15，45，35，其和為95，記在K1這一行的第1列中。

對于因素B(第2列)，它的第1水平安排在第1，4，7號試驗中，對應(yīng)的鐵水溫度值(減去1350以后)分別為15，40，40，其和為95，記在K1這一行的第2列中。

對于因素C(第3列)，它的第l水平安排在第1，6，8號試驗中，對應(yīng)的鐵水溫度值(減去1350以后)分別為15，30，40，其和為85，記在K1這一行的第3列中。

類似地，K2這一行的3個數(shù)，分別是因素A，B，C的第2水平所在的試驗中對應(yīng)的鐵水溫度(減去1350以后)之和。K3這一行的3個數(shù)，分別是因素A，B，C的第3水平所在的試驗中對應(yīng)的鐵水溫度(減去1350以后)之和．

K1，k2，k3這3行的3個數(shù)，分別是K1，K2，K3這3行中的3個數(shù)除以3所得的結(jié)果，也就是各水平所對應(yīng)的平均值.

同一列中，K1，k2，k3這3個數(shù)中的最大者減去最小者所得的差叫做極差。

一般地說，各列的極差是不同的，這說明各因素的水平改變時對試驗指標(biāo)的影響是不同的。極差越大，說明這個因素的水平改變時對試驗指標(biāo)的影響越大。極差最大的那一列，則那個因素的水平改變時對試驗指標(biāo)的影響就最大，那個因素就是我們要考慮的主要因素。

這里算出3列的極差分別為15.0，11.6，20.0，顯然第3列即因素C的極差20.0最大。這說明因素C的水平改變時對試驗指標(biāo)的影響最大，因此因素C是我們要考慮的主要因素。它的3個水平所對應(yīng)的鐵水溫度(減去1350以后)平均值分別為28.3，48.3，40.O，第2水平所對應(yīng)的數(shù)值48.3最大，所以取它的第2水平最好。

第1列即因素A的極差為15.0，僅次于因素C，它的3個水平所對應(yīng)的數(shù)值分別為31．7，38.3，46.7，第3水平所對應(yīng)的數(shù)值46.7最大，所以取它的第3水平最好。

第2列即因素B的極差為11.6，是3個因素中極差最小的，說明它的水平改變時對試驗指標(biāo)的影響最小，它的3個水平所對應(yīng)的數(shù)值分別為31.7，43.3，41.7，第2水平所對應(yīng)的數(shù)值43.3最大，所以取它的第2水平最好。

從以上分析可以得出結(jié)論：各因素對試驗指標(biāo)(鐵水溫度)的影響按大小次序來說應(yīng)當(dāng)是C(底焦高度)A(焦比)B(風(fēng)壓)；最好的方案應(yīng)當(dāng)是C2A3B2，即

C2：底焦高度，第2水平，1.5，

A3：焦比，第3水平，1:14，

B2：風(fēng)壓，第2水平，230。

可以看出，這里分析出來的最好方案在已經(jīng)做過的9次試驗中沒有出現(xiàn)，與它比較接近的是第9號試驗．在第9號試驗中只有風(fēng)壓B不是處在最好水平，而且風(fēng)壓對鐵水溫度的影響是3個因素中最小的。從實際做出的結(jié)果看出，第9號試驗中的鐵水溫度是1410℃，是9次試驗中最高的，這也說明我們找出的最好方案是符合實際的。

為了最終確定上面找出的試驗方案C2A3B2是否為最好方案，可以按這個方案再試驗一次，看是否會得出比第9號試驗更好的結(jié)果。若比第9號試驗的效果好，就確定上述方案為最好方案，若不比第9號試驗的效果好，可以取第9號試驗為最好方案。如果出現(xiàn)后一種情況，說明我們的理論分析與實踐有一些差距，最終還是要接受實踐的檢驗。

現(xiàn)將利用正交表安排試驗并分析試驗結(jié)果的步驟歸納如下：

(1)明確試驗?zāi)康?，確定要考核的試驗指標(biāo)。

(2)根據(jù)試驗?zāi)康?，確定要考察的因素和各因素的水平。要通過對實際問題的具體分析選出主要因素，略去次要因素，這樣可使因素個 數(shù)少些。如果對問題不太了解，因素個數(shù)可適當(dāng)?shù)囟嗳∫恍?，?jīng)過對試驗結(jié)果的初步分析，再選出主要因素。因素被確定后，隨之確定各因素的水平數(shù)。

以上兩條主要靠實踐來決定，不是數(shù)學(xué)方法所能解決的。

(3)選用合適的正交表，安排試驗計劃。首先根據(jù)各因素的水平選擇相應(yīng)水平的正交表。同水平的正交表有好幾個，究竟選哪一個要看因素的個數(shù)。一般只要正交表中因素的個數(shù)比試驗要考察的因素的個數(shù)稍大或相等就行了。這樣既能保證達到試驗?zāi)康?，又使試驗的次?shù)不至于太多，省工省時。

(4)根據(jù)安排的計劃進行試驗，測定各試驗指標(biāo)。

(5)對試驗結(jié)果進行計算分析，得出合理的結(jié)論。

上述方法一般稱為直觀分析法．這種方法比較簡單，計算量不大，是一種很實用的分析方法。

最后再說明一點，這種方法的主要工具是正交表，而在因素及其水平都確定的情況下，正交表并不是惟一的。

2 多指標(biāo)的分析方法

在上節(jié)的問題中，試驗指標(biāo)只有一個，考察起來比較方便．但在實際問題中，需要考察的指標(biāo)往往不止一個，可能有兩個、三個，甚至更多，這都是多指標(biāo)的問題．下面介紹兩種解決多指標(biāo)試驗的方法：綜合平衡法和綜合評分法．這兩種方法都能找出使每個指標(biāo)都盡可能好的試驗方案。

2.1 綜合平衡法

下面通過具體例子來說明這種方法．

例2為提高某產(chǎn)品質(zhì)量，要對生產(chǎn)該產(chǎn)品的原料進行配方試驗．要檢驗3項指標(biāo)：抗壓強度、落下強度”和裂紋度，前兩個指標(biāo)越大越好，第3個指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗，配方中有3個重要因素：水分、粒度和堿度．它們各有3個水平，具體數(shù)據(jù)如表2.1所示。試進行試驗分析，找出最好的配方方案。

解這是3因素3水平問題，應(yīng)當(dāng)選用正交表L9(34)來安排試驗。把這里的3個因素依次放在L9(34)表的前3列(第4列不要)，把各列的水平和該列相應(yīng)因素的具體水平對應(yīng)起來，得出一張具體的試驗方案表。按照這個方案進行試驗，測出需要檢驗的指標(biāo)的結(jié)果，列在表2.2中，然后用直觀分析法對每個指標(biāo)分別進行計算分析。

表2.1

表2.2

因素 實驗號		123 ABC	各指標(biāo)實驗結(jié)果
			抗壓強度 （kg/個）		落下強度（0.5m/次）	裂紋度
1 2 3 4 5 6 7 8 9		111 122 133 212 223 231 313 321 332	11.5 4.5 11.0 7.0 8.0 18.5 9.0 8.0 13.4		1.1 3.6 4.6 1.1 1.6 15.1 1.1 4.6 20.2	3 4 4 3 2 0 3 2 1
抗 壓 強 度	K1 K2 K3	2727.5 38 33.520.524.9 30.442.928
	k1 k2 k3	9.09.212.7 11.26.88.3 10.114.39.3
	極差	2.27.5 4.4			列號
	優(yōu)方案	A2B3C1			1A2B3C
裂 紋 度	K1 K2 K3	1195 588 659	落 下 強 度	K1 K2 K3	9.33.320.8 17.89.824.9 25.939.97.3
	k1 k2 k3	3.73.0 1.7 1.72.7 2.7 2.01.7 3.0		k1 k2 k3	3.11.16.9 5.93.38.3 8.613.32.4
	極差	2.01.3 1.3		極差	5.512.25.9
	優(yōu)方案	A2B3C1		優(yōu)方案	A3B3C2

為便于綜合分析，我們將各指標(biāo)隨因素水平變化的情況用圖形表示出來，畫在圖2.1中(為了看得清楚，將各點用線段連起來，實際上并不是直線)。

把圖2.1和表2.2結(jié)合起來分析，看每一個因素對各指標(biāo)的影響。

(1)粒度B對各指標(biāo)的影響

從表2.2看出，對抗壓強度和落下強度來講，粒度的極差都是最大的，也就是說粒度是影響最大的因素，從圖2.1看出，顯然取8最好；對裂紋度來講，粒度的極差不是最大，即不是影響最大的因素，但也是取8最好?？傊?，對3個指標(biāo)來講，粒度都是取8最好。

(2)堿度C對各指標(biāo)的影響

從表2.2看出，對于3個指標(biāo)，堿度的極差都不是最大的，也就是說，堿度不是影響最大的因素，是較次要的因素。從圖2.1看出，對抗壓強度和裂紋度來講，堿度取1.1最好，對落下強度來講，堿度取1.3最好，但取1.1也不是太差，對3個指標(biāo)綜合考慮，堿度取1.1為好。

(3)水分A對各指標(biāo)的影響

從表2.2看出，對裂紋度來講，水分的極差最大，即水分是影響最大的因素．從圖2.1看出，水分取9最好，但對抗壓強度和落下強度來講，水分的極差都是最小的，即是影響最小的因素。從圖2.1看出，對抗壓強度來講，水分取9最好，取7次之；對落下強度來講，水分取7最好，取9次之．對3個指標(biāo)綜合考慮，應(yīng)照顧水分對裂紋度的影響，還是取9為好。

通過各因素對各指標(biāo)影響的綜合分析，得出較好的試驗方案是

B3：粒度，第3水平，8；

Cl：堿度，第1水平，1.1；

A2：水分，第2水平，9。

由此可見，分析多指標(biāo)的方法是：先分別考察每個因素對各指標(biāo)的影響，然后進行分析比較，確定出最好的水平，從而得出最好的試驗方案，這種方法叫做綜合平衡法。

對多指標(biāo)的問題，由于各指標(biāo)的重要性不同，即所處的地位不同，要做到真正好的綜合平衡，是很困難的，這是綜合平衡法的缺點。

下面要介紹的綜合評分法，在一定意義上講，可以克服綜合平衡法的這個缺點。

2.2 綜合評分法

例3某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品．需要檢驗兩個指標(biāo)：核酸純度和回收率，這兩個指標(biāo)都是越大越好。有影響的因素有4個，各有3個水平，具體情況如表2.3所示。試通過試驗分析找出較好方案，使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高。

表2.3

解 這是4因素3水平的試驗，可以選用正交表L9(34)。和例1.1一樣，按L9(34)表排出方案(這里有4個因素，正好將表排滿)，進行試驗，將得出的試驗結(jié)果列入表2.4中。

表2.4

綜合評分法就是根據(jù)各個指標(biāo)重要性的不同，按照得出的試驗結(jié)果綜合分析，給每一個試驗評出一個分數(shù)，作為這個試驗的總指標(biāo)，根據(jù)這個總指標(biāo)(分數(shù))，利用例1.1的方法(直觀分析法)作進一步的分析，從而選出較好的試驗方案。

這個方法的關(guān)鍵是如何評分，下面著重介紹評分的方法。

在這個試驗中，兩個指標(biāo)的重要性是不同的，根據(jù)實踐經(jīng)驗知道，純度的重要性比回收率的重要性大，如果化成數(shù)量來看，從實際分析，可認為純度是回收率的4倍，也就是說，論重要性若將回收率看成1，純度就是4。這個4和1分別叫兩個指標(biāo)的權(quán)，按這個權(quán)給出每個試驗的總分為：

總分 =4×純度+1×回收率

根據(jù)這個算式，算出每個試驗的分數(shù)，列在表2.4最右邊。再根據(jù)這個分數(shù)，用直觀分析法作進一步的分析，整個分析過程都記錄在表2.4中。

根據(jù)綜合評分的結(jié)果，直觀上看，第1號試驗的分數(shù)是最高的，那么能不能肯定它就是最好的試驗方案呢?還要作進一步的分析。

從表2.4看出，A，D兩個因素的極差都很大，是對試驗影響很大的兩個因素，還可以看出，A，D都是第l水平為好；B因素的極差比A，D的極差小，對試驗的影響比A，D都小，B因素取第3水平為好；C因素的極差最小，是影響最小的因素，C取第2水平為好。綜合考慮，最好的試驗方案應(yīng)當(dāng)是A1B3C2D1，按影響大小的次序列出應(yīng)當(dāng)是

A1：時間，第1水平，25h，

D1：加水量，第1水平，1:6，

B3：料中核酸含量，第3水平，6.O，

C2：pH值，第2水平，6.0。

可以看出，這里分析出來的最好方案，在已經(jīng)做過的9個試驗中是沒有的?？梢园催@個方案再試驗一次，看能不能得出比第1號試驗更好的結(jié)果，從而確定出真正最好的試驗方案。

總的來講，綜合評分法是將多指標(biāo)的問題，通過加權(quán)計算總分的方法化成一個指標(biāo)的問題，這樣對結(jié)果的分析計算都比較方便、簡單．但是，如何合理地評分，也就是如何合理地確定各個指標(biāo)的權(quán)，是最關(guān)鍵的問題，也是最困難的問題．這一點只能依據(jù)實際經(jīng)驗來解決，單純從數(shù)學(xué)上是無法解決的。

3混合水平的正交試驗設(shè)計

前兩節(jié)介紹的多因素試驗中，各因素的水平數(shù)都是相同的，解決這類問題還是比較簡單的。但是在實際問題中，由于具體情況不同，有時各因素的水平數(shù)是不相同的，這就是混合水平的多因素試驗問題。

解決混合水平這類問題一般比較復(fù)雜。在這里介紹兩個主要的方法：

(1)直接利用混合水平的正交表；

(2)擬水平法——把水平不同的問題化成水平數(shù)相同的問題來處理。

3.1 混合水平正交表及其用法

混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。這種正交表有好多種，比如L8(41×24)就是一個混合水平的正交表，如表3.1。

表3.1

這張L8(41×24)表有8行，5列(注意5=1+4)，表示用這張表要做8次試驗，最多可安排5個因素，其中一個是4水平的(第1列)，4個是2水平的(第2列到第5列)。

L8(41×24)表有兩個重要特點：

(1)每一列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相同的。

例如，第1列中有4個數(shù)字1，2，3，4，它們各出現(xiàn)兩次；第2列到第5列中，都只有兩個數(shù)字1，2，它們各出現(xiàn)4次。

(2)每兩列各種不同的水平搭配出現(xiàn)的次數(shù)是相同的。但要注意一點：每兩列不同水平的搭配的個數(shù)是不完全相同的。

比如，第1列是4水平的列，它和其他任何一個2水平的列放在一起，由行組成的不同的數(shù)對一共有8個：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，它們各出現(xiàn)1次；第2列到第5列都是2水平列，它們之間的任何兩列的不同水平的搭配共有4個：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，它們各出現(xiàn)兩次。

由這兩點看出，用這張表安排混合水平的試驗時，每個因素的各水平之間的搭配也是均衡的。其他混合水平的正交表還有L16(41×212)，L16(42×29)，L18(21×37)等(見附表6)，它們都具有上面所說的兩個特點。

例3.1某農(nóng)科站進行品種試驗。共有4個因素：A(品種)、B(氮肥量)、C(氮、磷、鉀肥比例)、D(規(guī)格)。因素A是4水平的，另外3個因素都是2水平的，具體數(shù)值如表3.2所示。試驗指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。試用混合正交表安排試驗，找出最好的試驗方案。

表3.2

解這個問題中有4個因素，1個是4水平的，3個是2水平的，正好可以選用混合正交表L8(41×24)，因素A為4水平，放在第1列，其余3個因素B，C，D，都是2水平的，順序放在2，3，4列上，第5列不用。按這個方案進行試驗，將得出的試驗結(jié)果放在正交表L8(41×24)的右邊，然后進行分析，整個分析過程記在表3.3中。

表3.3

這里分析計算的方法和例1.1基本上相同。但是要特別注意，由于各因素的水平數(shù)不完全相等，各水平出現(xiàn)的次數(shù)也不完全相等，因此計算各因素各水平的平均值k1，k2，k3，k4時和例1.1中有些不同。

比如，對于因素A，它有4個水平，每個水平出現(xiàn)兩次，它的各水平的平均值k1，k2，k3，k4是相應(yīng)的K1，K2，K3，K4分別除以2得到的。

而對于因素B，C，D，它們都只有兩個水平，因此，只有兩個平均值k1，k2，又因為每個水平出現(xiàn)4次，所以它們的平均值k1，k2是相應(yīng)的K1，K2分別除以4得到的。這樣得出的平均值才是合理的。

從表3.3看出，因素A的極差最大，因此因素A對試驗的影響最大，并且以取2水平為好；因素B的極差僅次于因素A，對試驗的影響比因素A小，也是以取2水平為好；因素C，D的極差都很小，對試驗的影響也就很小，都是以取2水平為好。

總的說來，試驗方案應(yīng)以A2B2C2D2為好。但這個方案在做過的8個試驗中是沒有的。按理應(yīng)當(dāng)照這個方案再試驗一次，從而確定出真正最好的試驗方案。但是，因為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)受節(jié)氣的制約，只有到第二年再試驗。

事實上，在這里因為因素D的影響很小，這個方案與8個試驗中的第4號試驗A2B2C2D1很接近，從試驗結(jié)果看出，第4號試驗是8個試驗中產(chǎn)量最高的，因此完全有理由取第4號試驗作為最好的試驗方案加以推廣。

3.2 擬水平法

例3.2現(xiàn)有某一試驗，試驗指標(biāo)只有一個，它的數(shù)值越小越好。這個試驗有4個因素A，B，C，D，其中因素C是2水平的，其余3個因素都是3水平的，具體數(shù)值如表3.4所示。試安排試驗，并對試驗結(jié)果進行分析，找出最好的試驗方案。

表3.4

解 這個問題是4個因素的試驗，其中因素C是2水平的，因素A，B，D是3水平的。這種情況沒有合適的混合水平正交表，因此不能用例3.1的方法解決．對這個問題我們可以設(shè)想：假若因素C也有3個水平，那么這個問題就變成4因素3水平的問題，因此可以選正交表L9(34)來安排試驗。但是實際上因素C只有兩個水平，不能隨便安排第3個水平。

如何將c變成3水平的因素呢？我們是從第1、第2兩個水平中選一個水平讓它重復(fù)一次作為第3水平，這就叫做虛擬水平。

取哪個水平作為第3水平呢？一般來講，都是根據(jù)實際經(jīng)驗，選取一個較好的水平。比如，如果認為第2水平比第1水平好，就選第2水平作為第3水平。這樣因素水平表3.4就變?yōu)楸?.5的樣子，它比表3.4多了一個虛擬的第3水平(用方框把它圍起來)。

表3.5

下面就按L9(34)表安排試驗，測出結(jié)果，并進行分析，整個分析過程記錄在表3.6中。

表3.6

這里要注意的是，因素C的“第3水平”實際上就是第2水平，我們把正交表中第3列的C因素的水平安排又重寫一次，兩邊用虛線標(biāo)出，對應(yīng)地列在右邊，這一列是真正的水平安排。由于這一列沒有第3水平，因此在求和時并無K3，只出現(xiàn)K1，K2。又因為這里C的第2水平共出現(xiàn)6次，因此平均值k2是K2除以6，即k2=K2／6；C的第l水平出現(xiàn)3次，平均值k1是K1除以3，即k1=K1／3。

因素A，B，D都是3水平的，各水平都出現(xiàn)3次，因此求平均值k1，k2，k3時，都是K1，K2，K3除以3。

從表3.6中的極差看出，因素D對試驗的影響最大，取第3水平最好；其次是因素A，取第3水平為好；再者是因素B，取第l水平為好；因素C的影響最小，取第1水平為好。

總之，這個試驗的最優(yōu)方案應(yīng)當(dāng)是A3B1C1D3。但是這個方案在做過的9個試驗中是沒有的。從試驗結(jié)果看，效果最好的是第8號試驗，這個試驗只有因素B不是處在最好情況，而因素B對試驗的影響是最小的。因此我們選出的最優(yōu)方案是合乎實際的。我們可以按這個方案再試驗一次，看是否會得到比第8號試驗更好的結(jié)果，從而確定出真正的最優(yōu)方案。

從上面的討論可以看出，擬水平法是將水平少的因素歸入水平數(shù)多的正交表中的一種處理問題的方法。在沒有合適的混合水平的正交表可用時，擬水平法是一種比較好的處理多因素混合水平試驗的方法．這種方法不僅可以對一個因素虛擬水平，也可以對多個因素虛擬水平，具體做法和上面相同，不再重復(fù)。這里要指出的是：虛擬水平以后的表對所有因素來說不具有均衡搭配性質(zhì)，但是，它具有部分均衡搭配的性質(zhì)(部分均衡搭配的精確含義這里就不細講了)，所以擬水平法仍然保留著正交表的優(yōu)點。

愛華網(wǎng)本文地址 » http://www.klfzs.com/a/25101014/234033.html