愛華網(wǎng)費(fèi)馬最后定理從猜想最終走到了定理
根據(jù)費(fèi)馬最后定理可知：在a、b與c均為不同的整數(shù)時，a2+b2=c2。
設(shè)b＞a，則有c=b+k，其中，k=1、2、3……；c≡奇數(shù)。
就有a2+b2=c2=〉a2+b2=(b+k)2；整理化簡：a2=k(2b+k)；b=(a2-k2)/2k。
由于b＞a，則有b=(a2-k2)/2k＞a，所以，a2-k2＞2ka，a2-2ka-k2＞0。
令，a2-2ka-k2=0，a1=k(1-21/2)＜0（舍去），a2=k(1+21/2)＞0，（令k=1，則a=1+21/2，（請關(guān)注這個神奇的數(shù)字）由于a為整數(shù)，則a≥3k；a=mk，（m≥3且m與k同奇同偶）；k=1、2、3……。值得一提的是：a與k可以選擇，而m根據(jù)a與k的最終選擇而決定出來的。
如果根據(jù)a2=k(2b+k)；b=(a2-k2)/2k，在n≥3的情形下，可以得出，當(dāng)an/2=整數(shù)時，bn/2依然可以為整數(shù)，說明an+bn=cn成立，如果bn/2不能為整數(shù)，則an+bn≠cn，從而證明費(fèi)馬最后定理的成立。
由于a與k同奇同偶（就決定了k與m同奇同偶），而b與k奇偶相反。
當(dāng)(n=2)a與k同為奇數(shù)時，a=mk（k≥1，m≥3且k與m均為奇數(shù)，），b=正整數(shù)（偶數(shù)）。若(n=2)a與k為偶數(shù)，a=mk，（k≥2，m≥4且k為偶數(shù)）；b=正整數(shù)（奇數(shù)）。b=[(mk)2-k2]/2k，則b=k(m2-1)/2。
有兩種證明方法：
方法一
當(dāng)n≥3時，an/2=mk，bn/2=k(m2-1)/2。
當(dāng)m與k同為奇數(shù)時，bn/2=k[(m2-1)/2]，k與(m2-1)/2均為整數(shù)。
令k=[(m2-1)/2](n/2)-1，則bn/2=[(m2-1)/2]n/2，則b=(m2-1)/2；
a=m[(m2-1)/2](n/2)-1，令m=(m2-1)/2，則an/2=[(m2-1)/2]n/2，a=(m2-1)/2，2m=m2-1，m=1±21/2，取正值，m=1+21/2＜3且非整數(shù)，當(dāng)a取正整數(shù)，a≥3的奇數(shù)，∴當(dāng)a=奇數(shù)時，b≠整數(shù)，即b n/2≠正整數(shù)。
當(dāng)m與k同為偶數(shù)時，bn/2=(k/2)(m^2-1)。
令k/2=(m2-1)(n/2)-1，則k=2(m2-1)(n/2)-1，a=2m(m2-1)(n/2)-1。
令2m=m2-1，則an/2=(m^2-1)n/2，a=m2-1；則m2-2m-1=0，m=1±2^(1/2)，取正值，m=1+21/2<3且非整數(shù)，當(dāng)k=1，a=1+21/2＜3，a取正整數(shù)，a≥4的偶數(shù)。∴當(dāng)a=偶數(shù)時，b≠整數(shù)，即bn/2≠正整數(shù)。
方法二：
由于k=整數(shù)，則有：
當(dāng)n≥3時，an/2=mk，bn/2=k(m2-1)/2。
當(dāng)m與k同為奇數(shù)時，bn/2=k[(m2-1)/2]，k與(m2-1)/2均為整數(shù)。
令(m2-1)=k(n/2)-1，則m=[k(n/2)-1+1]1/2，此時bn/2=kn/2（b=k奇數(shù)，與題不符，因為k與b奇偶相反）；
那么，an/2=k[k(n/2)-1+1]1/2；
令n=3，k=3（k=任意整數(shù)），a=3×[31/2+1]1/2（非正整數(shù)）
當(dāng)m與k同為偶數(shù)時，bn/2=(k/2)(m2-1)。
令m2-1=(k/2)(n/2)-1，則bn/2=(k/2)n/2，b=k/2（正整數(shù)）。
那么，an/2=k[(k/2)(n/2)-1+1]1/2。
令n=4，k=2，a=4×21/2（非整數(shù)）
∴n≥3且k=正整數(shù)，b=正整數(shù)；a就不可能為正整數(shù)。
那么，當(dāng)n=2時，bn/2=k(m2-1)/2，
當(dāng)m與k同為奇數(shù)時，bn/2=k[(m2-1)/2]，k與(m2-1)/2均為整數(shù)。
令k=[(m2-1)/2](n/2)-1，由于(n/2)-1=0，∴k可以是任意整數(shù)。
當(dāng)m與k同為偶數(shù)時，bn/2=(k/2)(m2-1)。k/2與(m2-1)均為整數(shù)。
令k/2=(m2-1)(n/2)-1，由于(n/2)-1=0，∴k/2可以是任意整數(shù)。
值得注意的是，當(dāng)m=1+21/2時，即b=(a2-k2)/2k＞a，就變成了b=(a2-k2)/2k=a的情形。當(dāng)k=1時，a=1+21/2與a取整數(shù)不符。由于a＜b，則a=b且m≠整數(shù)時，等式不成立。
所以，n≥3且a、b與c均為不同的正整數(shù)時，an+bn≠cn。因為在n≥3時，如果an/2=整數(shù)，則bn/2≠整數(shù)；如果bn/2=整數(shù)，則an/2≠整數(shù)，如果a與b都取正整數(shù)的話，c必然不會是正整數(shù)。
證畢。
破解者：北京史仲夏
附錄：
已知：a=mk(k=1.2.3……，m≥3且k與m同奇同偶)；b=k(m^2-1)/2。而c≡奇數(shù)。
代入具體數(shù)據(jù)加以驗證：
當(dāng)m=31，k=25（同為奇數(shù)）；a=31×25=775，b=25×(31×31-1)÷2=12000；
則有775^2+12000^2=12025^2，（c=b+k）。
當(dāng)m=25，k=31，a=25×31=775，b=31×(25×25-1)/2=9672，c=9703（9672+31）。
只知道，a=65情況下，求b=?
a=5×13，b=13(5×5-1)/2=156，c=156+13=169或b=5(13×13-1)/2=420，c=425。
a=152=4×38，b=38(4×4-1)/2=285，c=285+38=323。
假設(shè)：a=156=4×39=12×13（m與k奇偶相反），b與c不可能同時為整數(shù)。
