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第二節(jié) 中數(shù)
一、中位數(shù)的概念
二、中位數(shù)的計算方法
三、中數(shù)優(yōu)缺點
四、中位數(shù)的適用條件
五、百分位數(shù)的概念及其計算方法
一、中位數(shù)的概念
中位數(shù)，又稱中數(shù)、中點數(shù)，符號Md(Median)。是指位于一組數(shù)據(jù)中較大一半與較小一半中間位置的那個數(shù)。即它位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中央位置的數(shù)值，在這一數(shù)值上、下各有一半頻數(shù)分布著。這個數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一個，也可能根本不是原有的數(shù)據(jù)。
中位數(shù)是把按從小到大（或從大到?。┡帕械囊唤M數(shù)據(jù)一分為二的數(shù)據(jù)，是位于一組數(shù)據(jù)中較大一半與較一半中間位置的那個數(shù)，它將整個數(shù)據(jù)的個數(shù)分作大的一半和小的一半，而不是將數(shù)據(jù)的值分作相等的兩部分。
它是集中量的一種指標(biāo)，是百分位數(shù)的一種。中位數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一個，也可能根本不是原有數(shù)據(jù)的數(shù)。
中位數(shù)(概念要點)
集中趨勢的測度值之一
排序后處于中間位置上的值
不受極端值的影響
主要用于定序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于定類數(shù)據(jù)
各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小，即
二、中位數(shù)的計算方法
1．用原始數(shù)據(jù)計算法－－未分組數(shù)據(jù)求中數(shù)的方法
根據(jù)中位數(shù)的概念，首先將一組原始數(shù)據(jù)依大小順序排列后，然后找出位于中間的那個數(shù)，這里又分兩種不同的情況：
1）單列數(shù)目的情況――－即不重復(fù)數(shù)據(jù)
所謂單列數(shù)目是指一組數(shù)據(jù)中沒有相同的，這時取處于中間位置的那個數(shù)為中位數(shù)：
若總頻數(shù)為奇數(shù)，則位于中央的數(shù)據(jù)，即取序列中第（N＋1）／2的那個數(shù)為中位數(shù)；
若總頻數(shù)為偶數(shù)，則以最中間兩個數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)作為中位數(shù)，即取序列中第N／2和N／2＋1個這兩個數(shù)據(jù)的均數(shù)為中數(shù)。
從中位數(shù)的概念及計算中可以看出，求中位數(shù)不受極大值與極小值的影響，而決定中位數(shù)的是居中的那兒個數(shù)據(jù)的數(shù)值大小。
2）一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況：
所謂有重復(fù)數(shù)目是指一組數(shù)據(jù)中有數(shù)值相同的數(shù)。這時計算中位數(shù)的方法基本同單列數(shù)目，但當(dāng)位于中間的那幾個數(shù)是重復(fù)數(shù)目時，求中位數(shù)的方法就比較復(fù)雜了。具體算法如下：
當(dāng)重復(fù)數(shù)值沒有位于數(shù)列中間時，方法同上。
當(dāng)重復(fù)數(shù)值位于數(shù)列中間，則將重復(fù)的數(shù)據(jù)視做連續(xù)數(shù)，將它細(xì)分為n個數(shù)，此后的計算與上同。
如數(shù)據(jù)：2、3、5、5、7、7、7、11、13，居中的數(shù)是7，但7是重復(fù)數(shù)，這是要將7視作連續(xù)數(shù)。N／2是4.5，序列中上下各4.5的那一點恰和是第一個7的中點，而這人7的中點如何確定呢？我們知道將7視作連續(xù)數(shù)可以理解為6.5――7.5之間有三個數(shù)據(jù)分布其中，而這三個7是均勻分布在這區(qū)間之內(nèi)的，如圖所示：
6.5――7.5之間均勻分布三個數(shù)據(jù)，每一個數(shù)據(jù)占1／3的距離，那么可理解為第一個7落在6.5－6.83這一區(qū)間內(nèi)，第二個7落在6.83－7.16這一區(qū)間內(nèi)，第三個7落在7.16－7.5區(qū)間內(nèi)。第一個7的中點是6.67，這一點就是整個序列中位居最中間的那一點，因此，該組數(shù)據(jù)的中數(shù)是6.67。這是重復(fù)數(shù)列為奇數(shù)的情形。
如果是偶數(shù)，作法也同奇數(shù)基本相同。如在上組數(shù)據(jù)后面再加一個15，它就成偶數(shù)重復(fù)序列了。數(shù)據(jù)為：2、3、5、5、7、7、7、11、13、15，此時N／2等于5，那就是說該組數(shù)據(jù)的中點應(yīng)該是第5個數(shù)的上限，第6個數(shù)的下限，如上圖所示，第一個7的上限為6.83，即該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6.83。
上面的計算方法比較復(fù)雜，其它統(tǒng)計書中大多沒有這樣嚴(yán)格劃分，SPSS程序中也沒有這個計算，我們能理解其實質(zhì)就可以了，通常計算時，大多是按照定義進(jìn)行。
中位數(shù)(位置的確定)
未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(計算公式)
定序數(shù)據(jù)的中位數(shù)(算例)
未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(計算公式)
數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (5個數(shù)據(jù)的算例)
數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (6個數(shù)據(jù)的算例)
2．已分組數(shù)據(jù)（頻數(shù)分布表）求中數(shù)的方法
若原始數(shù)據(jù)已經(jīng)整理成了次數(shù)分布表后，求中位數(shù)的原理同重復(fù)數(shù)目求中位數(shù)是一樣的，即可以用內(nèi)插法計算，也就是取序列中將N平分為兩半的那一點的值作為中位數(shù)。
基本原理同有重復(fù)數(shù)值位于數(shù)列中間的情況
即取序列中將N平分為兩半的那一點的數(shù)的值
次數(shù)分布表求中位數(shù)的具體步驟如下：
求N／2，并找到N／2所在的分組區(qū)間；
求含有中位數(shù)那一區(qū)間以下各區(qū)間的次數(shù)和，即中位數(shù)所在組區(qū)間下限以下的累加次數(shù)。記作Fb（或n1，見王P38）；
求N／2與Fb之差；
求序列為第N／2那一點的值。
設(shè)中位數(shù)所在那一組的區(qū)間的數(shù)據(jù)次數(shù)為fMd，Lb為中位數(shù)所在那一分組區(qū)間精確下限值。
根據(jù)重復(fù)數(shù)列求中位數(shù)的原理，設(shè)有fMd的數(shù)據(jù)均勻地落在距離為i的區(qū)間內(nèi)，那么每個數(shù)據(jù)各占i/fMd，那么至N／2這一段距離為i/fMd×（N／2－Fb.
求中位數(shù)的公式如下：
由數(shù)值小向數(shù)值大的方向計算（即用精確下限計算）時，
同理，由數(shù)值大向數(shù)值小的方向計算（即用精確上限計算）時，
上面公式的含義為：
Fb：含有中數(shù)那一組以下的各個組的次數(shù)之和
Fa：含有中數(shù)那一組以上的各個組的次數(shù)之和
Lb：中數(shù)所在組的下限；
La：中數(shù)所在組的上限；
fmd：為中數(shù)所在組的次數(shù)；
i： 代表組距。
數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(算例)
【例】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算50 名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)
例
計算中位數(shù)案例
3．利用曲線圖
累加曲線圖
頻數(shù)分布圖
三、中數(shù)優(yōu)缺點
1、中位數(shù)的優(yōu)點：
從中位數(shù)的的計算可以看出：
中位數(shù)是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算而來，不能憑主觀臆定。可用中位數(shù)作為數(shù)據(jù)集中趨勢的指標(biāo)。
計算簡單，容易理。中位數(shù)的概念簡單明白。
很少受兩極端數(shù)值的影響。
2、中位數(shù)的缺點：
反應(yīng)不夠靈敏，兩極端數(shù)目變化，對中位數(shù)不產(chǎn)生影響；
計算中位數(shù)時，不是每個數(shù)據(jù)都加入計算，受抽樣的影響較大，不如平均數(shù)穩(wěn)定；
中位數(shù)乘以總數(shù)與數(shù)據(jù)的總和不相等（只有少為情況，即當(dāng)中位數(shù)等于平均數(shù)是時相等）；
中位數(shù)不能作進(jìn)一步的代數(shù)運算。
四、中位數(shù)的適用條件：
（1）當(dāng)一組觀測結(jié)果中出現(xiàn)兩極端數(shù)值時。
這種情況在心理與教育科研實驗中常常出現(xiàn)，因為心理與教育實驗中的偶然因素非常復(fù)雜，有時實驗中為了平衡各各誤差，經(jīng)常是同一種觀測要在同一個被試身上反復(fù)進(jìn)行多次，而只取某一個代表值作為對該被試的觀測結(jié)果，這時若出現(xiàn)兩極端數(shù)目，又不能確定這些極端數(shù)目是否由錯誤觀測造成，因而不能隨意舍去，在這種情況下，只能用中位數(shù)作為該被試的代表值，這樣做，并不影響進(jìn)一步的統(tǒng)計分析。
（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)的兩端或個別數(shù)據(jù)不清楚時，只能取中位數(shù)作為集中趨勢的代表值。
在心理與教育實驗中，經(jīng)常會出現(xiàn)個別被試不能堅持繼續(xù)進(jìn)行實驗這一現(xiàn)象，有時只知個別被試的觀測結(jié)果是在分布的哪一端，但具體數(shù)值不清楚，這種情況下，就只能取中位數(shù)，而不能計算平均數(shù)。
（3）資料屬于等級性質(zhì)時。
（4）當(dāng)需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時，也常用中位數(shù)。
五、百分位數(shù)的概念及其計算方法
1、百分位數(shù)的概念
百分是位于按一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值。一般用Pp表示。
如第70百分位數(shù)（P70），就是在按從小到大排列的一組數(shù)據(jù)中小于這數(shù)值有70％個頻數(shù)，大于這個數(shù)值有30％個頻數(shù)的那個數(shù)值。中位數(shù)就是第50百分位數(shù)。小于它有50％個頻數(shù)，大于它也有50％個頻數(shù)。它是百分位數(shù)中的特例。
在教育與心理測量中，常通過計算某個原始分?jǐn)?shù)的百分位數(shù)來說明、解釋、評價它在團(tuán)體中所處的位置。
2、百分位數(shù)的計算方法
在頻數(shù)分布表上可以用內(nèi)插法計算某個百分位數(shù)。
其計算公式為：
其中：Pp 表示百分位數(shù)
p 表示與百分位數(shù)相對應(yīng)的比數(shù)
N 表示總頻數(shù)
Lp 表示百分位數(shù)所在組的下限
n 表示小于百分位數(shù)所在組下限的頻數(shù)總和
fp 表示百分位數(shù)所在組的頻數(shù)
i 表示組距
