原文自：從薄透鏡成像談起：焦距與視角的換算

假設(shè)各位了解視角的定義、焦長(zhǎng)的定義、凸透鏡成像原理，以及它們的變化對(duì)成像畫(huà)面有何影響，這里只是單純的提供視角與焦長(zhǎng)的轉(zhuǎn)換原則，簡(jiǎn)單的說(shuō)：影響視角的因素，包括焦長(zhǎng)及底片（或感光元件）的片幅大小。

在許多情況下，我們常將鏡頭視為一等效的薄凸透鏡，此舉可忽略很多光學(xué)設(shè)計(jì)上的細(xì)節(jié)與考量，但觀(guān)念方面則是相符的。
這張圖片定義了鏡心（或稱(chēng)光心）的位置O，焦點(diǎn)的位置F等，其中OF線(xiàn)段即焦距（focallength），而OF線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)稱(chēng)為光軸（optical axis）。在此例中，光線(xiàn)由左而右穿過(guò)鏡片。
回憶老師說(shuō)過(guò)，平行光軸的光線(xiàn)將匯聚于鏡后焦點(diǎn)，即F的位置，如下圖所示：
然而，底片（或感光元件）是一個(gè)平面，并不是一個(gè)點(diǎn)而已。其中A與B分別表示底片（或感光元件）兩個(gè)端點(diǎn)在此側(cè)面圖的位置。
光線(xiàn)是四面八方而來(lái)的，圖中的A、B兩個(gè)位置也會(huì)被照顧到：
最后，我們整理出底下這張圖片，其中CW線(xiàn)段與DZ線(xiàn)段（透鏡左方的兩條紅線(xiàn)）所圍出來(lái)的角度便是取景范圍，即所謂視角（Angel ofView）。

公式推演
接下來(lái)是公式的推演，根據(jù)上圖：
∵CW線(xiàn)段與OX線(xiàn)段平行，且DZ線(xiàn)段與OY線(xiàn)段平行
∴「CW線(xiàn)段與DZ線(xiàn)段的夾角」即「OX線(xiàn)段與線(xiàn)段OY」的夾角，亦等于「OA線(xiàn)段與OB線(xiàn)段」的夾角。
讓我們將夾角稱(chēng)為θ，OF長(zhǎng)度（焦距）稱(chēng)為f，將AB的長(zhǎng)度（片幅）稱(chēng)為L(zhǎng)。

■若已知焦距，片幅，欲計(jì)算視角：
∵tan(θ/2)=(L/2)/f
∴θ=2*atan((L/2)/f)
■若已知視角，片幅，欲計(jì)算焦距：
∵tan(θ/2)=(L/2)/f
∴f=(L/2)/tan(θ/2)
以上公式都是利用已知的兩項(xiàng)條件，去計(jì)算第三項(xiàng)數(shù)據(jù)這里補(bǔ)充對(duì)L（片幅）的說(shuō)明，以135相機(jī)的片幅為例：

雖然可以代入36mm與24mm而分別計(jì)算水平視角或垂直視角，但如果沒(méi)有特別說(shuō)明，我們通常以最大視角為準(zhǔn)，即代入對(duì)焦線(xiàn)長(zhǎng)度43.27mm。
計(jì)算實(shí)例

■50mm的焦距在135相機(jī)（底片對(duì)角長(zhǎng)度約43.27mm）上的視角：
θ=2*atan((L/2)/f)=2*atan((43.27/2)/50=46.8°
■50mm的焦距在佳能EOS10D/300D（感光元件對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度約27.26毫米）的視角：
θ=2*atan((L/2)/f)=2*atan((27.26/2)/50)=30.5
■反推，視角30.5°的鏡頭在135相機(jī)（底片對(duì)角長(zhǎng)度約43.27mm）上的焦距：
f=(L/2)/tan(θ/2)=(43.27/2)/tan(30.5°/2)=79.36mm
■在剛開(kāi)始的薄透鏡圖中‥
焦平面位于焦點(diǎn)位置，很顯然的，這表示對(duì)焦于無(wú)限遠(yuǎn)的時(shí)候，
也因此被對(duì)焦物的光線(xiàn)才會(huì)以平行的形式進(jìn)入鏡頭，此時(shí)最利于后續(xù)的公式推導(dǎo)。
對(duì)焦位置不在無(wú)限遠(yuǎn)怎么辦？還是可以推導(dǎo)公式，但幾何作圖會(huì)變得相當(dāng)復(fù)雜，必須加入像距的考量。
■關(guān)于焦長(zhǎng)轉(zhuǎn)換率‥
在最后兩個(gè)計(jì)算實(shí)例中，我們得知50mm鏡頭接在D30/D60/10D/300D機(jī)身上面時(shí)，視角為30.5 °，
而30.5°在135相機(jī)上約是80mm鏡頭的視角，故所謂1.6X焦長(zhǎng)轉(zhuǎn)換率來(lái)自于此。
焦長(zhǎng)轉(zhuǎn)換率是經(jīng)等效視角所求得，但從另一個(gè)角度看，根據(jù)公式：
θ＝2*atan((L1/2)/f1)＝2*atan((L2/2)/f2)＝L1/f1＝L2/f2＝L1/L2＝f1/f2
換句話(huà)說(shuō)，焦長(zhǎng)轉(zhuǎn)換率其實(shí)就是對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度的比值。
這項(xiàng)原理讓我們?cè)谟?jì)算焦長(zhǎng)轉(zhuǎn)換率時(shí)不需代入視角的值，而直接用兩種片幅的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度去計(jì)算，
不過(guò)要記得它們?nèi)匀皇菑牡刃б暯堑膿Q算而推導(dǎo)出來(lái)的。
43.27mm/27.26mm＝1.59≈1.6
一般消費(fèi)型數(shù)位相機(jī)可能加掛廣角或增距鏡，外掛鏡頭所標(biāo)示的倍率同上原則;
或者，不妨加掛鏡頭拍一張，不加鏡頭拍一張，求成像的邊長(zhǎng)比例，亦可得該外掛鏡頭所造成的倍率變化。
■對(duì)應(yīng)圖‥

注：這個(gè)公式是有局限性的，只適合于透視投影鏡頭，中長(zhǎng)焦的可以使用，因?yàn)樵谛∫暯窍赂魍队胺匠陶`差太小了。相反，在大視角下不適用，因?yàn)樵诖笠暯窍虏煌队胺椒ù蟛灰粯樱藭r(shí)這個(gè)公式只能用于畸變控制很好的廣角鏡頭。對(duì)于魚(yú)眼鏡頭，都使用等距投影法，這樣實(shí)際焦距比你用上面的算出來(lái)的小得多。比如，220°魚(yú)眼是6mm，如果用上面的公式算，都是負(fù)的焦距。

此段轉(zhuǎn)自:Plane

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