利用單位圓方法證明 sin（α+β）=… 與cos（α+β）=…，是進(jìn)一步證明大部分三角函數(shù)公式的基礎(chǔ)。

1、sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

在笛卡爾坐標(biāo)系中以原點(diǎn)O為圓心作單位圓，在單位圓中作以下線段：

如圖中所示，容易看出：

sin（α+β）=CF；sinα=AB；cosα=OB；sinβ=CD；cosβ=OD

則：

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平面幾何的證明方法：如圖所示，過(guò)程見(jiàn)下面的【評(píng)論】中新浪網(wǎng)友的提示

（非常感謝這位網(wǎng)友的提示，讓我們看到了證明一個(gè)定理的多種途徑，真是妙不可言！）

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附：如何證明托勒密定理？

見(jiàn) http://hyz0.blog.sohu.com/69610635.html

http://iask.sina.com.cn/b/2459822.html

托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。

原文：圓內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。

　　從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．（具體的推導(dǎo)方法詳見(jiàn)數(shù)學(xué)目錄下的博文，來(lái)自網(wǎng)友的提供?。?/p>

思路：托勒密定理在平面幾何中赫赫有名，其難點(diǎn)在于：把一條對(duì)角線分割成兩條線段DE和BE。第一步證明一對(duì)旋轉(zhuǎn)的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步還需要證一對(duì)旋轉(zhuǎn)的三角形相似△ADE∽△ACB；只有這兩對(duì)相似的三角形出來(lái)了才能得到結(jié)論。

證明：以AB為邊，作一個(gè)角等于已知角：即∠BAE=∠DAC；

在ΔABE和ΔACD中，

∵∠BAE=∠DAC；

∠ABE=∠ACD；

∴△ABE∽△ACD；

∴AB·DC=BE·AC①

∵∠BAE=∠DAC；

∴∠DAE=∠CAB；

在ΔADE和ΔACB中，

∵∠ADE=∠ACB；

∠DAE=∠CAB；

∴△ADE∽△ACB；

∴AD·BC=DE·AC②

∴ ①+②得：

AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。

結(jié)論：該命題對(duì)于圓內(nèi)接的任意四邊形都成立。最初是由數(shù)學(xué)家托勒密想出來(lái)的，叫做托勒密定理?！爱?dāng)你遇到AB·DC+AD·BC=AC·BD這樣的等積式時(shí)，如果等式左邊可以合二為一，則考慮證一對(duì)三角形相似，否則，在AC、BD的其中一條線段上找到一個(gè)分點(diǎn)，構(gòu)造兩個(gè)三角形相似?！?/p>

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