愛華網(wǎng)離散系數(shù)的定義、用途和意義
一、離散系數(shù)的定義
離散系數(shù)又稱變異系數(shù)，是衡量資料中各觀測(cè)值變異程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)進(jìn)行兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度的比較時(shí)，如果度量單位與平均數(shù)相同，可以直接利用標(biāo)準(zhǔn)差來比較。如果單位和（或）平均數(shù)不同時(shí)，比較其變異程度就不能采用標(biāo)準(zhǔn)差，而需采用標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)（均值）的比值（相對(duì)值）來比較。
1．離散系數(shù)指標(biāo)
離散系數(shù)指標(biāo)有：全距（極差）系數(shù)、平均差系數(shù)、方差系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)等。常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，用CV(Coefficientof Variance)表示。
CV(Coefficient ofVariance)：標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值。
用公式表示為：CV=σ/μ
方差(Variance)和標(biāo)準(zhǔn)差(StandardDeviation)是測(cè)算離散趨勢(shì)最重要、最常用的指標(biāo)。方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)，它是測(cè)算數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最重要的方法。標(biāo)準(zhǔn)差為方差的算術(shù)平方根，用S表示。標(biāo)準(zhǔn)差與方差不同的是，標(biāo)準(zhǔn)差和變量的計(jì)算單位相同，比方差清楚，所以很多時(shí)候我們分析的時(shí)候更多的使用的是標(biāo)準(zhǔn)差。因此，標(biāo)準(zhǔn)差是反映一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一種量化形式，是表示精密確的最重要指標(biāo)。
方差：s2=[(x1–x)2+(x2–x)2+......(xn–x)2]/n （x為平均數(shù)）
例如：4，8，6，2，方差為5，平均數(shù)是5。
標(biāo)準(zhǔn)差=方差的算術(shù)平方根。SD=sqrt{[(x1–x)2+ (x2–x)2 + ......(xn–x)2]/(n–1)}。（說明：sqrt為開根號(hào)。若為樣本，除以（n–1）；若為全體數(shù)據(jù)，除以n）
2．計(jì)算公式
極差（全距）系數(shù)：Vr=R/X′；
平均差系數(shù)：Va，d=A.D/X′；
方差系數(shù)：V方差=方差/X′；
標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：V標(biāo)準(zhǔn)差=標(biāo)準(zhǔn)差/X′；
其中，X′表示X的平均數(shù)。
二、離散系數(shù)的用途和意義
離散系數(shù)反映單位均值上的離散程度，常用在兩個(gè)總體均值不等的離散程度的比較上。若兩個(gè)總體的均值相等，則比較標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)與比較標(biāo)準(zhǔn)差是等價(jià)的。
一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是所測(cè)定數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)，其作用主要是用于比較不同組別數(shù)據(jù)的離散程度。其計(jì)算公式為v=S/(X的平均值）。
標(biāo)準(zhǔn)變異系數(shù)是一組數(shù)據(jù)的變異指標(biāo)與其平均指標(biāo)之比，它是一個(gè)相對(duì)變異指標(biāo)。
三、一組數(shù)據(jù)如何計(jì)算它的離散度
1.極差
最直接也是最簡(jiǎn)單的方法，即最大值－最小值（也就是極差）來評(píng)價(jià)一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應(yīng)用。
2.離均差的平方和
由于誤差的不可控性，因此只由兩個(gè)數(shù)據(jù)來評(píng)判一組數(shù)據(jù)是不科學(xué)的。所以人們?cè)谝蟾叩念I(lǐng)域不使用極差來評(píng)判。其實(shí)，離散度就是數(shù)據(jù)偏離平均值的程度。因此將數(shù)據(jù)與均值之差（我們叫它離均差）加起來就能反映出一個(gè)準(zhǔn)確的離散程度，越大離散度也就越大。
但是由于偶然誤差是成正態(tài)分布的，離均差有正有負(fù)，對(duì)于大樣本離均差的代數(shù)相加為零的。為了避免正負(fù)問題，在數(shù)學(xué)有上有兩種方法：一種是取絕對(duì)值，也就是常說的離均差絕對(duì)值相加。而為了避免符號(hào)問題，數(shù)學(xué)上最常用的是另一種方法——平方，這樣就都成了非負(fù)數(shù)。因此，離均差的平方累加成了評(píng)價(jià)離散度一個(gè)指標(biāo)。
3.方差（S2）
由于離均差的平方累加值與樣本個(gè)數(shù)有關(guān)，只能反應(yīng)相同樣本的離散度，而實(shí)際工作中做比較很難做到相同的樣本，因此為了消除樣本個(gè)數(shù)的影響，增加可比性，將標(biāo)準(zhǔn)差求平均值，這就是我們所說的方差成了評(píng)價(jià)離散度的較好指標(biāo)。
我們知道，樣本量越大越能反映真實(shí)的情況，而算數(shù)均值卻完全忽略了這個(gè)問題，對(duì)此統(tǒng)計(jì)學(xué)上早有考慮，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中樣本的均差多是除以自由度（n–1），它的意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個(gè)時(shí)，它不可能再有自由了，所以自由度是n–1。
4.標(biāo)準(zhǔn)差（SD）
由于方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測(cè)值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號(hào)換算回來這就是我們要說的標(biāo)準(zhǔn)差。
附：標(biāo)準(zhǔn)分常模
（一）標(biāo)準(zhǔn)分常模簡(jiǎn)介
1.標(biāo)準(zhǔn)分常模的概念
標(biāo)準(zhǔn)分常模是將原始分?jǐn)?shù)與平均數(shù)的距離以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示出來的量表。因?yàn)樗幕締挝皇菢?biāo)準(zhǔn)差，所以叫標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。常見的標(biāo)準(zhǔn)分常模有：z分?jǐn)?shù)、Z分?jǐn)?shù)、T分?jǐn)?shù)、標(biāo)準(zhǔn)九分?jǐn)?shù)、離差智商（IQ）等。標(biāo)準(zhǔn)分常模分?jǐn)?shù)均是等距分?jǐn)?shù)，雖然不同類型的常模其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差不同，但均可用離均值來表示。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)可以通過線性轉(zhuǎn)換，也可以通過非線性轉(zhuǎn)換得到，由此可將標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)分為線性轉(zhuǎn)換的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)與非線性轉(zhuǎn)換的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。
2.標(biāo)準(zhǔn)分常模的局限性
標(biāo)準(zhǔn)化常模表示的是存在狀態(tài)之間的橫向比較，離開原常模樣本，不同常模樣本之間的比較就沒有意義。
3.相關(guān)名稱
z分?jǐn)?shù)、z′分?jǐn)?shù)、T分?jǐn)?shù)、標(biāo)準(zhǔn)九、標(biāo)準(zhǔn)十、標(biāo)準(zhǔn)二十的平均數(shù)：050 5 5.5 10，標(biāo)準(zhǔn)差：1 10 2 1.5 3
（二）線性轉(zhuǎn)換的標(biāo)準(zhǔn)分——z分?jǐn)?shù)
1.公式：z=（X－x）/SD
X為原始分,x為樣本平均數(shù)，SD為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。從公式看，z的含義是：它表示某一分?jǐn)?shù)與均勻數(shù)之差是標(biāo)準(zhǔn)差的多少倍。
2.z的性質(zhì)
（1）平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。
（2）z分?jǐn)?shù)有正、負(fù)，其相對(duì)值表示原始分與平均數(shù)間的間隔正值表示原始分大于平均數(shù)，負(fù)值則相反。
（3）z分?jǐn)?shù)的分布形態(tài)與原始分分布一致。
（三）非線性轉(zhuǎn)換的標(biāo)準(zhǔn)分
1.計(jì)算步驟
當(dāng)原始分?jǐn)?shù)不是常態(tài)分布時(shí)，也可以使之常態(tài)化，這一轉(zhuǎn)換過程就是非線性的。常態(tài)化的過程主要是將原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為百分等級(jí)，再將百分等級(jí)轉(zhuǎn)化為常態(tài)分布上相應(yīng)的離均值，并可以表示為任何平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算步驟如下：（1）對(duì)每個(gè)原始分?jǐn)?shù)值計(jì)算累積百分比；（2）在常態(tài)曲線面積表中，求出對(duì)應(yīng)于該百分比的z分?jǐn)?shù)。
所得z分?jǐn)?shù)可將分布分成幾部分，我們稱之為z′分?jǐn)?shù)，以區(qū)別由線性轉(zhuǎn)換所求得的z分?jǐn)?shù)。
2.T分?jǐn)?shù)
T分?jǐn)?shù)是平均數(shù)為50，標(biāo)準(zhǔn)差為10的分?jǐn)?shù)。即這一詞最早由麥柯爾于1939年提出，是為了紀(jì)念推孟和桑代克對(duì)智力測(cè)驗(yàn)，尤其是提出智商這一概念所作出的巨大貢獻(xiàn)。
3.標(biāo)準(zhǔn)九
標(biāo)準(zhǔn)九是標(biāo)準(zhǔn)化九分制的簡(jiǎn)稱。它是以5為平均數(shù)，以2為標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)分?jǐn)?shù)量表，最早時(shí)被普遍運(yùn)用于美國(guó)空軍的心理測(cè)驗(yàn)中。
標(biāo)準(zhǔn)九分?jǐn)?shù)也是一種標(biāo)準(zhǔn)分，它將原始分劃分為9全體，最高是9分，最低1分。除1和9的范圍略大以外，其余均是以5為核心向兩邊各包含0.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的分?jǐn)?shù)段。
（四）有關(guān)數(shù)據(jù)解讀
1.平均分反映得分程度，與試卷難度有關(guān)。不同學(xué)科不同考試不可以比較。
2.T標(biāo)準(zhǔn)分反映排序，不同學(xué)科、不同考試可以相對(duì)比較，換算公式如下：
通過轉(zhuǎn)換后得到的標(biāo)準(zhǔn)分Z在一般情況下都帶小數(shù)，而且會(huì)出現(xiàn)負(fù)值，實(shí)際使用時(shí)不太方便，所以還要對(duì)Z分?jǐn)?shù)進(jìn)行線性變換（T變換）：
T=500 + 100* Z （T分?jǐn)?shù)）
Z=（X-x）/SD （各字母的含義請(qǐng)見（二）部分）
3.優(yōu)秀率與及格率劃線分?jǐn)?shù)固定，以滿分100分為例，90為優(yōu)秀線，60為及格線，若滿分不是100分，將按比例進(jìn)行換算，優(yōu)秀線和及格線也進(jìn)行相應(yīng)比例的變化。
4.前20%、后20%是相對(duì)排名，全區(qū)（一個(gè)大區(qū)域）比率固定，可以跨學(xué)科比較、跨年級(jí)比較。班級(jí)報(bào)表的前20%與后20%是以校為一個(gè)小區(qū)域進(jìn)行設(shè)定。
