新課程中，高中數(shù)學(xué)新增加了許多近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，這為中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的內(nèi)容注入了新的活力，也為解決一些初等數(shù)學(xué)問題的方法提供了更多的選擇．尤其在近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點(diǎn).許多省市質(zhì)檢卷中也出現(xiàn)大量的題目可以用拉格朗日中值定理解答.

拉格朗日中值定理：若函數(shù) 滿足如下條件：

（i） 在閉區(qū)間上連續(xù)；

（ii） 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；

則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 .

本文先面對多數(shù)學(xué)生介紹中值定理在兩種題型上的應(yīng)用。

一、證明與 或

（其中 ）有關(guān)的問題。

例1：（2011年福建省質(zhì)檢理19題）已知函數(shù)

（Ⅰ）求 的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè) 問是否存在實(shí)數(shù) ，使得函數(shù)上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于 ？若存在，求 的取值范圍；若不存在，說明理由。

解（Ⅰ）略

（Ⅱ）該題提供的參考答案是：當(dāng) 時，　 。假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得 的圖象上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于 ，即對于任意 ，都有亦即 考查函數(shù) ，故問題等價于 在 上恒成立。即對 恒成立。（以下同省質(zhì)檢參考答案）

這種解法對于多數(shù)學(xué)生仍感到入口難，而應(yīng)用中值定理多數(shù)學(xué)生就會感到入口容易得多，解法如下：當(dāng) 時，，假設(shè)存在實(shí)數(shù) ，使得的圖象上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于 ，即對任意，都有 由中值定理知存在 ，有 即 在上恒成立。（以下同省質(zhì)檢參考答案）

例2：（2009年遼寧卷理21題）

已知函數(shù)

（Ⅰ）討論函數(shù) 的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：若 ，則對任意 ， ，有.

解：（Ⅰ）略；

證明：（Ⅱ）由中值定理知 （）.由（Ⅰ）得， .所以要證 成立，即證.下面即證之. 等價證明 在 上恒成立，令，則 .由于 ，所以 .從而 在恒成立.也即 .又 ， ，故.則 ，即 ，也即 .

評注：這道題（Ⅱ）小題存在兩個難點(diǎn)：首先有兩個變量 ；其次的值是變化的.參考答案的解法是考慮函數(shù) .為什么考慮函數(shù)？很多考生一下子不易想到.而且 的放縮也不易想到.

二、證明與 有關(guān)的問題

例3：（2010遼寧卷理21）已知函數(shù)

（I）討論函數(shù) 的單調(diào)性；

（II）設(shè) .如果對任意 ， ，求 的取值范圍。

解：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）由中值定理則當(dāng) 時， 恒成立可轉(zhuǎn)化為 恒成立，即 在上恒成立，由

得 當(dāng) 時恒成立，解得，故a的取值范圍為（-∞，-2].

例4：(2OO6年四川卷理第22題)

已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)是 ，對任意兩個不相等的正數(shù)，證明：

（Ⅰ）當(dāng) 時，

（Ⅱ）當(dāng) 時， .

證明：

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）由 得， ，令則由拉格朗日中值定理得：

下面只要證明：當(dāng) 時，任意 ,都有，則有 ，即證 時， 恒成立.這等價于證明的最小值大于 .

由于 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取到最小值，又 ，故時， 恒成立.

所以由拉格朗日定理得： .

評注：這道題用原參考答案的方法證明較為冗長，而且技巧性較強(qiáng).因而思路較為突兀，大多數(shù)考生往往難以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理證明，思路較為自然、流暢.

對于尖子生，還可介紹兩類用中值定理求解的題型。

三、證明與 或 （其中 ）有關(guān)的問題

例5：（2007年高考全國卷I第20題）

設(shè)函數(shù) .

（Ⅰ）證明： 的導(dǎo)數(shù) ；

（Ⅱ）證明：若對所有 ，都有，則 的取值范圍是 .

證明：

（Ⅰ）略.

（Ⅱ）（i）當(dāng) 時，對任意的，都有

(ii)當(dāng) 時，問題即轉(zhuǎn)化為 對所有恒成立.

令 ，由拉格朗日中值定理知 內(nèi)至少存在一點(diǎn)（從而 ），使得 ，即 ，由于 ，故 在上是增函數(shù)，讓 得 ，所以的取值范圍是 .

例6：（2008年全國卷Ⅱ22題）設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）如果對任何 ，都有 ，求的取值范圍.

（Ⅰ）略； （Ⅱ）證明：當(dāng) 時，顯然對任何，都有 ；當(dāng) 時，

由拉格朗日中值定理，知存在 ，使得.由（Ⅰ）知 ，從而 .令 得，；令 得， .所以在 上， 的最大值在 上， 的最大值.從而函數(shù) 在 上的最大值是 .由知，當(dāng) 時， 的最大值為 .所以， 的最大值.為了使 恒成立，應(yīng)有 .所以 的取值范圍是.

評注：這道題的參考答案的解法是令 ,再去證明函數(shù)的最小值.這與上述的思路是一樣的.但首先參考答案的解法中有個參數(shù),要對參數(shù) 進(jìn)行分類討論;其次為了判斷的單調(diào)性,還要求 和的解,這個求解涉及到反余弦,較為復(fù)雜.而用拉格朗日中值定理就可以避開麻煩，省去討論.再次體現(xiàn)了用中值定理解決這類題的優(yōu)越性.

四、證明與 有關(guān)的問題

例7：（2004年四川卷第22題）

已知函數(shù) .

（Ⅰ）求函數(shù) 的最大值；（Ⅱ）設(shè) ，證明：.

（Ⅰ）略； （Ⅱ）證明：依題意，有

由拉格朗日中值定理得，存在 ，使得

評注：對于不等式中含有 的形式，我們往往可以把 和，分別對 和 兩次運(yùn)用拉格朗日中值定理.

拉格朗日中值定理是數(shù)學(xué)分析的一個重要定理，是解決函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的重要工具.把這個定理與中學(xué)數(shù)學(xué)的知識聯(lián)系起來，這樣不僅可以使我們加深對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們更好的把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而可以居高臨下的處理教材，為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。

愛華網(wǎng)本文地址 » http://www.klfzs.com/a/25101011/82334.html