概述：

平衡樹——特點：所有結(jié)點左右子樹深度差≤1

排序樹——特點：所有結(jié)點“左小右大

字典樹——由字符串構(gòu)成的二叉排序樹

判定樹——特點：分支查找樹（例如12個球如何只稱3次便分出輕重）

帶權(quán)樹——特點：路徑帶權(quán)值（例如長度）

最優(yōu)樹——是帶權(quán)路徑長度最短的樹，又稱 Huffman樹，用途之一是通信中的壓縮編碼。

1. 二叉排序樹（二叉查找樹Binary Search Tree）：

1.1 二叉排序樹：

或是一棵空樹；或者是具有如下性質(zhì)的非空二叉樹：

（1）若左子樹不為空，左子樹的所有結(jié)點的值均小于根的值；

（2）若右子樹不為空，右子樹的所有結(jié)點均大于根的值；

（3）它的左右子樹也分別為二叉排序樹。

例：二叉排序樹 如圖9.7：



二叉排序樹的查找過程和次優(yōu)二叉樹類似，通常采取二叉鏈表作為二叉排序樹的存儲結(jié)構(gòu)。中序遍歷二叉排序樹可得到一個關(guān)鍵字的有序序列，一個無序序列可以通過構(gòu)造一棵二叉排序樹變成一個有序序列，構(gòu)造樹的過程即為對無序序列進(jìn)行排序的過程。每次插入的新的結(jié)點都是二叉排序樹上新的葉子結(jié)點，在進(jìn)行插入操作時，不必移動其它結(jié)點，只需改動某個結(jié)點的指針，由空變?yōu)榉强占纯伞Ｋ阉?插入,刪除的復(fù)雜度等于樹高，期望O(logn),最壞O(n)(數(shù)列有序,樹退化成線性表).

雖然二叉排序樹的最壞效率是O(n),但它支持動態(tài)查詢,且有很多改進(jìn)版的二叉排序樹可以使樹高為O(logn),如SBT,AVL,紅黑樹等.故不失為一種好的動態(tài)排序方法.

2.2二叉排序樹b中查找

在二叉排序樹b中查找x的過程為：

若b是空樹，則搜索失敗，否則： 若x等于b的根節(jié)點的數(shù)據(jù)域之值，則查找成功；否則： 若x小于b的根節(jié)點的數(shù)據(jù)域之值，則搜索左子樹；否則： 查找右子樹。

2.3 在二叉排序樹插入結(jié)點的算法

向一個二叉排序樹b中插入一個結(jié)點s的算法，過程為：

若b是空樹，則將s所指結(jié)點作為根結(jié)點插入，否則： 若s->data等于b的根結(jié)點的數(shù)據(jù)域之值，則返回，否則： 若s->data小于b的根結(jié)點的數(shù)據(jù)域之值，則把s所指結(jié)點插入到左子樹中，否則： 把s所指結(jié)點插入到右子樹中。

/*當(dāng)二叉排序樹T中不存在關(guān)鍵字等于e.key的數(shù)據(jù)元素時，插入e并返回TRUE，否則返回FALSE*/ StatusInsertBST(BiTree&T,ElemTypee){ if(!SearchBST(T,e.key,NULL,p){ s=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); s->data=e;s->lchild=s->rchild=NULL; if(!p)T-s;//被插結(jié)點*s為新的根結(jié)點 elseifLT(e.key,p->data.key)p->lchld=s;//被子插結(jié)點*s為左孩子 elsep->rchild=s;//被插結(jié)點*s為右孩子 returnTRUE; } elsereturnFALSE;//樹中已有關(guān)鍵字相同的結(jié)點，不再插入 }

2.4 在二叉排序樹刪除結(jié)點的算法

在二叉排序樹刪去一個結(jié)點，分三種情況討論：

若*p結(jié)點為葉子結(jié)點，即PL(左子樹)和PR(右子樹)均為空樹。由于刪去葉子結(jié)點不破壞整棵樹的結(jié)構(gòu)，則只需修改其雙親結(jié)點的指針即可。 若*p結(jié)點只有左子樹PL或右子樹PR，此時只要令PL或PR直接成為其雙親結(jié)點*f的左子樹即可，作此修改也不破壞二叉排序樹的特性。 若*p結(jié)點的左子樹和右子樹均不空。在刪去*p之后，為保持其它元素之間的相對位置不變，可按中序遍歷保持有序進(jìn)行調(diào)整，可以有兩種做法：其一是令*p的左子樹為*f的左子樹，*s為*f左子樹的最右下的結(jié)點，而*p的右子樹為*s的右子樹；其二是令*p的直接前驅(qū)（或直接后繼）替代*p，然后再從二叉排序樹中刪去它的直接前驅(qū)（或直接后繼）。在二叉排序樹上刪除一個結(jié)點的算法如下：

StatusDeleteBST(BiTree&T,KeyTypekey){ //若二叉排序樹T中存在關(guān)鍵字等于key的數(shù)據(jù)元素時，則刪除該數(shù)據(jù)元素，并返回 //TRUE；否則返回FALSE if(!T)returnFALSE;//不存在關(guān)鍵字等于key的數(shù)據(jù)元素 else{ if(EQ(key,T->data.key)){returnDelete(T)};找到關(guān)鍵字等于key的數(shù)據(jù)元素 elseif(LT(key,T->data.key))returnDeleteBST(T->lchild,key); elsereturnDeleteBST(T->rchild,key); } } StatusDelete(BiTree&p){ //從二叉排序樹中刪除結(jié)點p，并重接它的左或右子樹 if(!p->rchild){//右子樹空則只需重接它的左子樹 q=p;p=p->lchild;free(q); } elseif(!p->lchild){//左子樹空只需重接它的右子樹 q=p;p=p->rchild;free(q); } else{//左右子樹均不空 q=p; s=p->lchild; while(s->rchild){ q=s; s=s->rchild }//轉(zhuǎn)左，然后向右到盡頭 p->data=s->data;//s指向被刪結(jié)點的“前驅(qū)” if(q!=p) q->rchild=s->lchild;//重接*q的右子樹 else q->lchild=s->lchild;//重接*q的左子樹 free(s); } returnTRUE; }

2. 5二叉排序樹性能分析

每個結(jié)點的Ci為該結(jié)點的層次數(shù)。最壞情況下，當(dāng)先后插入的關(guān)鍵字有序時，構(gòu)成的二叉排序樹蛻變?yōu)閱沃?，樹的深度為n，其平均查找長度為　?。ê晚樞虿檎蚁嗤?，最好的情況是二叉排序樹的形態(tài)和折半查找的判定樹相同，其平均查找長度和log2(n)成正比 （O(log2(n))）。



2.6 二叉排序樹的優(yōu)化

Size Balanced Tree(SBT)


AVL樹

紅黑樹

Treap(Tree+Heap)

這些均可以使查找樹的高度為O(logn)

2. 平衡樹二叉樹）（又稱AVL樹）：

1. 1 平衡二叉樹（Balanced Binary Tree）

性質(zhì)： 左右子樹都是平衡二叉樹且所有結(jié)點左、右子樹深度之差的絕對值 ≤1。

若定義結(jié)點的“平衡因子”BF（Balance Factor）= 左子樹深度 –右子樹深度則：平衡二叉樹中所有結(jié)點的BF∈[ -1, 0, 1 ]

例：判斷下列二叉樹是否AVL樹？



常用算法有紅黑樹、AVL、Treap、伸展樹等。在平衡二叉搜索樹中，我們可以看到，其高度一般都良好地維持在O（log2n），大大降低了操作的時間復(fù)雜度。

平衡二叉樹是二叉排序樹的另一種形式。

我們希望由任何初始序列構(gòu)成的二叉排序樹都是平衡二叉樹。因為平衡二叉樹上任何結(jié)點的左右子樹的深度之差都不超過1，則可以證明它的深度和logN是同數(shù)量級的（其中N是結(jié)點的個數(shù)）。由此，它的平均查找長度也和logN同數(shù)量級。

C語言描述:

typedefstructBSTNode{ ElemTypedata; intbf;//結(jié)點的平衡因子 structBSTNode*lchild,*rchild; //左、右孩子指針 }BSTNode,*BSTree;

typedefstructBSTNode{ ElemTypedata; intbf;//結(jié)點的平衡因子 structBSTNode*lchild,*rchild; //左、右孩子指針 }BSTNode,*BSTree;

構(gòu)造二叉平衡（查找）樹的方法是：在插入過程中，采用平衡旋轉(zhuǎn)技術(shù)。

插入算法 :

算法思想：

在平衡二叉排序樹BBST上插入一個新的數(shù)據(jù)元素e的遞歸算法可描述如下：

1．若BBST為空樹，則插入一個數(shù)據(jù)元素為e的新結(jié)點作為BBST的根結(jié) 點，樹的深度增1；

2．若e的關(guān)鍵字和BBST的根結(jié)點的關(guān)鍵字相等，則不進(jìn)行插入；

3．若e的關(guān)鍵字小于BBST的根結(jié)點的關(guān)鍵字，而且在BBST的左子樹中不存在和e有相同關(guān)鍵字的結(jié)點，則將e插入在BBST的左子樹上，并且當(dāng)插入之后的左子樹深度增加（＋1）時，分別就下列不同情況處理之：

i．BBST的根結(jié)點的平衡因子為－1（右子樹的深度大于左子樹的深度）：則將根結(jié)點的平衡因子更改為0，BBST的深度不變；

ii．BBST的根結(jié)點的平衡因子為0（左、右子樹的深度相等）：則將根結(jié)點的平衡因子更改為1，BBST的深度增1；

iii．BBST的根結(jié)點的平衡因子為1（左子樹的深度大于右子樹的深度）：

a.若BBST的左子樹根結(jié)點的平衡因子為1，則需進(jìn)行單向右旋平衡處理，并且在右旋處理之后，將根結(jié)點和其右子樹根結(jié)點的平衡因子更改為0，樹的深度不變；

b.若BBST的左子樹根結(jié)點的平衡因子為－1，則需進(jìn)行先向左、后向右的雙向旋轉(zhuǎn)平衡處理，并且在旋轉(zhuǎn)處理之后，修改根結(jié)點和其左、右子樹根結(jié)點的平衡因子，樹的 深度不變。

4．若e的關(guān)鍵字大于BBST的根結(jié)點的關(guān)鍵字，而且在BBST的右子樹中不存在和e有相同關(guān)鍵字的結(jié)點，則將e插入在BBST的右子樹上，并且當(dāng)插入之后的右子樹深度增加（＋1）時，分別就不同情況處理之。其處理操作和上述3．中描述相對稱。

3. 判定樹：

二分查找過程可用二叉樹來描述：把當(dāng)前查找區(qū)間的中間位置上的結(jié)點作為根，左子表和右子表中的結(jié)點分別作為根的左子樹和右子樹。由此得到的二叉樹，稱為描述二分查找的判定樹(Decision Tree)或比較樹(Comparison Tree)。

注意：

判定樹的形態(tài)只與表結(jié)點個數(shù)n相關(guān)，而與輸入實例中R[1..n].keys的取值無關(guān)。

【例】具有11個結(jié)點的有序表可用下圖所示的判定樹來表示。



舉例：12個球如何用天平只稱3次便分出輕重？

分析：12個球中必有一個非輕即重，即共有24種“次品”的可能性。每次天平稱重的結(jié)果有3種，連稱3次應(yīng)該得到的結(jié)果有33=27種。說明僅用3次就能找出次品的可能性是存在的。

思路：首先，將12個球分三組，每組4個，任意取兩組稱。會有兩種情況：平衡，或不平衡。其次，一定要利用已經(jīng)稱過的那些結(jié)論；即充分利用“舊球”的標(biāo)準(zhǔn)性作為參考。



二分查找判定樹的查找

二分查找就是將給定值K與二分查找判定樹的根結(jié)點的關(guān)鍵字進(jìn)行比較。若相等，成功。否則若小于根結(jié)點的關(guān)鍵字，到左子樹中查找。若大于根結(jié)點的關(guān)鍵字，則到右子樹中查找。

【例】對于有11個結(jié)點的表，若查找的結(jié)點是表中第6個結(jié)點，則只需進(jìn)行一次比較；若查找的結(jié)點是表中第3或第9個結(jié)點，則需進(jìn)行二次比較；找第1，4，7，10個結(jié)點需要比較三次；找到第2，5，8，11個結(jié)點需要比較四次。

由此可見，成功的二分查找過程恰好是走了一條從判定樹的根到被查結(jié)點的路徑，經(jīng)歷比較的關(guān)鍵字次數(shù)恰為該結(jié)點在樹中的層數(shù)。若查找失敗，則其比較過程是經(jīng)歷了一條從判定樹根到某個外部結(jié)點的路徑，所需的關(guān)鍵字比較次數(shù)是該路徑上內(nèi)部結(jié)點的總數(shù)。

【例】待查表的關(guān)鍵字序列為：(05，13，19，21，37，56，64，75，80，88，92)，若要查找K=85的記錄，所經(jīng)過的內(nèi)部結(jié)點為6、9、10，最后到達(dá)方形結(jié)點"9-10"，其比較次數(shù)為3。

實際上方形結(jié)點中"i-i+1"的含意為被查找值K是介于R[i].key和R[i+1].key之間的，即R[i].key<K<R[i+1].key。

二分查找的平均查找長度

設(shè)內(nèi)部結(jié)點的總數(shù)為n=2h-1，則判定樹是深度為h=lg(n+1)的滿二叉樹(深度h不計外部結(jié)點)。樹中第k層上的結(jié)點個數(shù)為2k-1，查找它們所需的比較次數(shù)是k。因此在等概率假設(shè)下，二分查找成功時的平均查找長度為：

ASLbn≈lg(n+1)-1

二分查找在查找失敗時所需比較的關(guān)鍵字個數(shù)不超過判定樹的深度，在最壞情況下查找成功的比較次數(shù)也不超過判定樹的深度。即為：



二分查找的最壞性能和平均性能相當(dāng)接近。

二分查找的優(yōu)點和缺點

雖然二分查找的效率高，但是要將表按關(guān)鍵字排序。而排序本身是一種很費時的運算。既使采用高效率的排序方法也要花費O(nlgn)的時間。

二分查找只適用順序存儲結(jié)構(gòu)。為保持表的有序性，在順序結(jié)構(gòu)里插入和刪除都必須移動大量的結(jié)點。因此，二分查找特別適用于那種一經(jīng)建立就很少改動、而又經(jīng)常需要查找的線性表。

對那些查找少而又經(jīng)常需要改動的線性表，可采用鏈表作存儲結(jié)構(gòu)，進(jìn)行順序查找。鏈表上無法實現(xiàn)二分查找。

5. 帶權(quán)樹：

即路徑帶有權(quán)值。例如：



6. 最優(yōu)樹（赫夫曼樹）：

赫夫曼樹：給定n個權(quán)值作為n個葉子結(jié)點，構(gòu)造一棵二叉樹，若帶權(quán)路徑長度達(dá)到最小，稱這樣的二叉樹為最優(yōu)二叉樹，也稱為赫夫曼樹(Huffman tree)。即帶權(quán)路徑長度最短的樹。

赫夫曼樹構(gòu)造算法：

假設(shè)有n個權(quán)值，則構(gòu)造出的哈夫曼樹有n個葉子結(jié)點。 n個權(quán)值分別設(shè)為{ w1、w2、…、wn}，則哈夫曼樹的構(gòu)造規(guī)則為：　　(1) 將{w1、w2、…，wn}看成是有n 棵樹的森林(每棵樹僅有一個結(jié)點)；　　(2) 在森林中選出兩個根結(jié)點的權(quán)值最小的樹合并，作為一棵新樹的左、右子樹，且新樹的根結(jié)點權(quán)值為其左、右子樹根結(jié)點權(quán)值之和；　　(3)從森林中刪除選取的兩棵樹，并將新樹加入森林；　　(4)重復(fù)(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵樹為止，該樹即為所求得的哈夫曼樹。

赫夫曼編碼：是通信中最經(jīng)典的壓縮編碼.

其算法：

stdafx.h文件：

//stdafx.h:includefileforstandardsystemincludefiles, //orprojectspecificincludefilesthatareusedfrequently,but //arechangedinfrequently // #pragmaonce #include<stdio.h> #include"stdlib.h" #include<iostream> usingnamespacestd; //宏定義 #defineTRUE1 #defineFALSE0 #defineOK1 #defineERROR0 #defineINFEASIBLE-1 #defineOVERFLOW-2 #defineSTACKEMPTY-3 #defineQUEUEEMPTY-3 #defineMAX10//MAXIMUMSTACKCONTENT #defineMAX_QUEUE10//MAXIMUMQUEUECONTENT typedefintStatus; typedefintElemType; typedefstruct{ unsignedintweight; unsignedintparent,lchild,rchild; }HTNode,*HuffmanTree;//動態(tài)分配數(shù)組存儲赫夫曼樹 typedefchar**HuffmanCode;//動態(tài)分配數(shù)組存儲赫夫曼編碼表

test.cpp文件：

//Test.cpp:Definestheentrypointfortheconsoleapplication. // #include"stdafx.h" /************************************************************************/ /*算法： */ /************************************************************************/ voidselect(HuffmanTree&HT,intn,int&h1,int&h2) { inti,j; for(i=1;i<=n;i++) if(!HT[i].parent)//一旦找到父結(jié)點不為0的結(jié)點就停止 { h1=i; break; } for(j=i+1;j<=n;j++) if(!HT[j].parent) { h2=j; break; } for(i=1;i<=n;i++) if(HT[h1].weight>HT[i].weight&&!HT[i].parent&&(h2!=i)) h1=i;//進(jìn)行比較，找權(quán)值最小，和h2不同的結(jié)點 for(j=1;j<=n;j++) if(HT[h2].weight>HT[j].weight&&!HT[j].parent&&(h1!=j)) h2=j;//進(jìn)行比較，找權(quán)值最小，和h1不同的結(jié)點 if(h1>h2) { inttemp;//將權(quán)值最小的結(jié)點賦給h1 temp=h1; h1=h2; h2=temp; } } /************************************************************************/ /* w存放n個字符的權(quán)值（均>0),構(gòu)造赫夫曼樹HT，并求出n個字符的赫夫曼編碼HC。 */ /************************************************************************/ voidHuffmanCoding(HuffmanTree&HT,HuffmanCode&HC,int*w,intn) { if(n<=1)return; intm,i; char*cd; ints1,s2; //HuffmanTreep; m=2*n-1; HT=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode));//0號單元未用 for(i=1;i<=n;i++){//初始化,相當(dāng)：p=HT;p={*w,0,0,0}，++p; HT[i].weight=w[i-1]; HT[i].parent=0; HT[i].lchild=0; HT[i].rchild=0; } for(i=n+1;i<=m;i++){//初始化p={*w,0,0,0}，++p; HT[i].weight=0; HT[i].parent=0; HT[i].lchild=0; HT[i].rchild=0; } //添加查看便于調(diào)試 printf("n-------------------------------------------"); printf("n哈夫曼樹的構(gòu)造過程如下所示：n"); printf("HT初態(tài):n"); printf("結(jié)點weightparentlchildrchild"); for(i=1;i<=m;i++) printf("n%4d%8d%8d%8d%8d",i,HT[i].weight,HT[i].parent,HT[i].lchild,HT[i].rchild); for(i=n+1;i<=m;i++){//建哈夫曼樹 //在HT[1..i-1]中選擇parent為0且weight最小的兩個結(jié)點， //其序號分別為s1和s2。 select(HT,i-1,s1,s2); HT[s1].parent=i;HT[s2].parent=i; HT[i].lchild=s1;HT[i].rchild=s2; HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight; //添加查看，便于調(diào)試 printf("nselect:s1=%ds2=%dn",s1,s2); printf("結(jié)點weightparentlchildrchild"); for(intj=1;j<=i;j++) printf("n%4d%8d%8d%8d%8d",j,HT[j].weight, HT[j].parent,HT[j].lchild,HT[j].rchild); } //---從葉子到根逆向求每個字符的赫夫曼編碼--- intstart,f; unsignedintc; HC=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char*));//分配n個字符編碼的頭指針向量 cd=(char*)malloc(n*sizeof(char));//分配求編碼的工作空間 cd[n-1]=' 精品国产日韩高清毛片| 日本少妇趟水视频| 97久久碰国产精品夜| 久久99在线观看视频| 中文字幕一区二区不卡高清| 日本最新的中文字幕| 欧美性色aⅴ欧美综合色| 国产精品久久久久内射| 亚洲少妇插b色图| 少妇人妻88久久中文字幕| 色综合久久久久久久综合| 大陆精品一区二区三区久久| 日本 亚洲 久久| 91久久久久久亚洲精品| 久久精品亚洲天堂av| 一本色道久久综合亚洲av| 少妇人妻88久久中文字幕| 国产乱子伦视频观看| 欧美成人黑人在线观看| 国产一区二区三区美女在线观看| 国产97色在线免费看| 国内精品 一区二区三区| 五月婷婷中文字幕免费视频| 人人超级碰青青精品| 成人国产av精品麻豆网| av天堂网在线播放| 丰满少妇一区二区三区视频| av成人影院在线播放| 日韩av电影在线播放| 日本精品国产免费久久久| 91夜色私人影院在线观看| 人妻熟女av一区| 色狠久久av北条麻纪| 国产综合精品久久东京热| 国产69堂一区二区三区在线观看| 亚洲国产区男人本色| 国产精品久久网址大全| 人妻精品人妻一区二区三区四五| 成人熟女人妻在线电影| 色秘乱码一区二区三区在线| 日韩精品嘿咻视频| 人妻中文字幕一区二三区| 九九九九九九久久久久久久久久| 日韩不卡一区高清视频| 少妇精品久久久久久av蜜桃| 久久精品免费看网站| 伊人网免费看黄片| 超碰手机在线大香蕉| 伊人 久久 中文字幕| 3d动漫精品啪一区二区免费| 亚洲国产欧美在线人成aaaa| 五月婷婷六月丁香动漫| 色哟哟 日韩精品| 日韩不卡一区高清视频| 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