愛華網(wǎng)路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索
數(shù)學(xué)建模競賽，就是在每年葉子黃的時候（長沙的樹葉好像一年到頭都是綠的）開始的一項數(shù)學(xué)應(yīng)
用題比賽。大家都做過數(shù)學(xué)應(yīng)用題吧，不知道現(xiàn)在的教育改革了沒有，如果沒有大變化，大家都應(yīng)該做
過。比如說，樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只，這樣的問題就是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題（應(yīng)該是小學(xué)生
的吧）。正確答案應(yīng)該是 9 只，是吧？這樣的題照樣是數(shù)學(xué)建模題，不過答案就不重要了，重要的是過程。
真正的數(shù)學(xué)建模高手應(yīng)該這樣回答這道題。
“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？”
“是無聲手槍或別的無聲的槍嗎？”
“不是?！?br />
“槍聲有多大？”
“80－100 分貝?！?br />
“那就是說會震的耳朵疼？”
“是?！?br />
“在這個城市里打鳥犯不犯法？”
“不犯?！?br />
“您確定那只鳥真的被打死啦？”
“確定。”
“OK，樹上的鳥里有沒有聾子？”
“沒有。”
“有沒有關(guān)在籠子里的？”
“沒有?！?br />
“邊上還有沒有其他的樹，樹上還有沒有其他鳥？”
“沒有。”
“有沒有殘疾的或餓的飛不動的鳥？”
“沒有?！?br />
“算不算懷孕肚子里的小鳥†？”
“不算?！?br />
“打鳥的人眼有沒有花？保證是十只？”
∗作者簡介：向為，SHUMO.COM 創(chuàng)始人之一，第一任站長兼網(wǎng)站設(shè)計師，曾獲 2001 年全國大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽一等
獎，現(xiàn)為國防科技大學(xué)碩士研究生。 †編輯注：鳥類是卵生，不會懷孕的，：）第 1 期 向 為：數(shù)學(xué)建模競賽新手教程 7
“沒有花，就十只?！?br />
“有沒有傻的不怕死的？”
“都怕死。”
“會不會一槍打死兩只？”
“不會?！?br />
“所有的鳥都可以自由活動嗎？”
“完全可以?！?br />
“如果您的回答沒有騙人，打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來，那么就剩一只，如果掉下來，就一只不
剩?！?br />
· · · · · ·
不是開玩笑，這就是數(shù)學(xué)建模。從不同的角度思考一個問題，想盡所有的可能，正所謂智者千慮，絕
無一失，這，才是數(shù)學(xué)建模的高手。然后，數(shù)學(xué)建模高手的搭檔—論文寫作高手（暫時稱為寫手吧），會
把以上的思想用最好的方式表達出來。
一般的寫手會直接把以上的文字放到論文里就完了。但是專職的數(shù)學(xué)建模論文的寫手不會這樣做，
她們會先分析這些思想，歸整好條理；然后，她們會試著用圖畫來深入淺出的表達這些思想，或者再使
用一些表格；這些都是在 Word 中進行，當(dāng)然，如果有不喜歡 Microsoft 的朋友或是國粹主義者喜歡用
WPS 什么的當(dāng)然也可以。她們都是這一行的專家，相信 Word 什么的使用技巧，都夠她們寫一篇論文的
了。她們不一定會打字，但是輸入公式的速度確是一流的。她們一定會用一種畫圖軟件，不管是 Visio 還
是 SmartDraw，她們都會用來明確而清晰的表達自己的思想。
好了，有了思想，也有了表達思想的人，還少一樣?xùn)|西—實現(xiàn)。屈原老哥就有那么多的懷疑與問題，
作為數(shù)學(xué)建模競賽的評委當(dāng)然也不是好騙的，不會那么容易相信高手們的話。所以要一個編程高手實現(xiàn)
之（暫時稱為程序員吧）。就上面所說的問題，程序員會編一個仿真的程序，實現(xiàn)以上所有的情況。這個
程序是這樣子的，他對以上所提到的每一種情況提供相應(yīng)的選項，比如說，我們可以選擇槍的聲音的分
貝數(shù)，可以從 80 到 100 分貝調(diào)節(jié)，或者干脆從 0 到 200db 均可，調(diào)節(jié)方式是無級變速方式，當(dāng)然，電腦
太慢，在遍歷的時候可能要指定步長，嘿嘿，所以，最好買個好電腦，CPU 一定不要用賽揚的，要用奔
騰的，另外，為了程序員的安全，還要用液晶的顯示器，要有 UPS 不間斷電源，要有健康的座椅· · · · · ·哈
哈，扯遠了。仿真程序會盡一切可能按實際所限制的條件遍歷所有的情況，看一看還剩下幾只 bird。
當(dāng)然，這也不是實踐。真的做的絕的，會跑去烈士公園做實驗，當(dāng)然得拿一把槍，可以拿塑料子彈
槍。烈士公園離我們學(xué)校很近，就在南門嘛。那兒有一個地方養(yǎng)了很多鴿子。雖然不能保證剛好 10 只鴿
子，也不能保證剛好都在樹上，但也可以將就著做實驗，然后根據(jù)實驗條件做一些修正。哈哈，這樣就完
美了· · · · · ·把實踐結(jié)果與仿真結(jié)果、理論結(jié)果做比較，再修改理論、仿真程序、論文，再做實驗、做仿真，
再比較，再修改，遞歸到時間的完結(jié)。
2 建模中的分工與合作
有些同學(xué)覺得，參加數(shù)學(xué)建模競賽的目的就是為了提高一下自己的數(shù)學(xué)水平，或是別的水
平，我不以為然。既然參加數(shù)學(xué)建模競賽，其目的就應(yīng)該是，而且是強烈的目的，去拿一等獎。
我們應(yīng)該如何分工？傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)答案是—數(shù)學(xué)、編程、寫作。但是對于每一個參加過數(shù)學(xué)建模競賽
的同學(xué)來說，感悟各不相同，所以答案也各不相同。下面是我的一家之言，有經(jīng)驗的朋友也可以一起討論
一下。8 數(shù) 模 2004 年
分工不用那么明確。但有個前提是大家關(guān)系很好。不然的話，很容易產(chǎn)生矛盾。提醒一點，在搞競賽
的那幾天，睡不好覺，心情急躁，很容易與搭檔們發(fā)生沖突。分工太明確了，會讓人產(chǎn)生依賴思想，不愿
去動腦子。假如寫手只是實現(xiàn)一個打字員的功能，把數(shù)模高手的思想表達出來，那是不夠的，寫手要有自
己的思想，能夠檢查對方的錯誤，能夠提出自己的思想。
按我的想法，理想的分工是這樣的。數(shù)學(xué)建模競賽小組中的每一個人，都能勝任其他人的工作，就
算小組只剩下她（他）一個人，也照樣能夠搞定數(shù)學(xué)建模競賽。在競賽中的分工，只是為了提高工作的效
率，做出更好的結(jié)果，并不是由于能力不適合做別的工作。
我一直都這么認為，只有能夠獨當(dāng)一面的人，才能更好的與他人合作。其實想想也應(yīng)該是這樣的，在
以后的學(xué)習(xí)、工作、研究中，數(shù)學(xué)能力、編程能力、論文寫作能力，哪一項是可以缺少的呢？
當(dāng)然，現(xiàn)實并非如此。我們很難找到三個這樣的人湊到一起。所以，湊合著吧。我給一點兒建議，三
個人中，一定要有一個人腦子比較活，善于思考問題，這個人，嗯，勉強歸于數(shù)學(xué)方面吧；一定要有一個
人會編程序，能夠?qū)崿F(xiàn)一些算法，這就夠了。另外需要有一個論文寫的比較好，不過寫不好也沒關(guān)系，也
可以學(xué)嘛，多看一看別人的優(yōu)秀論文，多用幾次 Word ，Visio 就成了。（強烈推薦一篇論文《Word 在論
文寫作中的技巧》，這篇文章我這兒有，不過怎么讓大家看到呢？我想想，網(wǎng)上應(yīng)該能搜到吧）。
說到看論文啊，我真是覺得，優(yōu)秀的論文就像《九陰真經(jīng)》一樣，看了之后會讓你功力大增的。大家
一定要多看，特別是想在數(shù)學(xué)建模競賽中取得好成績的朋友?？催^論文之后，明白的不僅僅是論文要怎
么寫，也在同時學(xué)到了作者的思考方式。我建議，有決心的朋友不如背幾篇優(yōu)秀論文。
常常有人問，搞數(shù)學(xué)建模競賽是不是需要我學(xué)習(xí)很多知識啊？比如圖論、概率論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、組合數(shù)
學(xué)、小波分析、泛函分析、最優(yōu)化· · · · · · 我的回答是，一門都不用，甚至連高等數(shù)學(xué)都可以不學(xué)，有那么
多時間去學(xué)這么多課程，還不如把時間拿來去看懂別人的論文呢。很多優(yōu)秀的論文，其高明之處并不是
用了多少數(shù)學(xué)知識，而是思維比較全面，切合實際，能解決問題或是有所創(chuàng)新。有時候，在論文中可能碰
見一些沒有學(xué)過的知識，怎么辦？現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用唄，在優(yōu)秀論文中用過的數(shù)學(xué)知識就是最有可能在數(shù)學(xué)建模
競賽中用到的，你當(dāng)然有必要去翻一翻啦。
有些同學(xué)覺得，參加數(shù)學(xué)建模競賽的目的就是為了提高一下自己的數(shù)學(xué)水平，或是別的水平，我不
以為然。既然參加數(shù)學(xué)建模競賽，其目的就應(yīng)該是，而且是強烈的目的，去拿一等獎。這樣，才會取得好
成績的。
分工就說到這兒，下面講合作。合作真的很難，哈哈，我也沒心得。上次合作做數(shù)模，我差點兒被氣
爆了，可能是我耐性不夠吧。我只能說一句話—以大局為重。我想，如果合作者中有一個是小 MM，肯定
就不一樣了吧，希望大家合作愉快！
3 選撥的歷程
百二秦關(guān)終屬楚三千越甲定吞吳
請允許我引用一下我的搭擋王瑛的文章：數(shù)模之路[1]（略，全文見本期第 1 頁）
呵呵，我只能以我們學(xué)校為例，說一下數(shù)模競賽的選撥歷程了。看過以上文章，相信大家對數(shù)模競賽
的選撥應(yīng)該有所了解。第一輪選撥是在每年的 5 月 1 日開始的，為期一周，任何人都可以參加，甚至不
用報名，在網(wǎng)上下載了題目做掉上交即可。接著是對選撥出來的同學(xué)進行培訓(xùn)，再進行兩次選撥，選撥方
式主要以做數(shù)學(xué)建模競賽的題目為主。最終選定的人會在 9 月份參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。在全國
競賽中取得較好成績的而且原意參加美國數(shù)學(xué)建模競賽的同學(xué)，會在寒假參加美國數(shù)學(xué)建模競賽（可惜
不能去美國，只是網(wǎng)上發(fā)題）。
其實選拔上的人不一定就比沒選上的人強多少，關(guān)鍵是個機會，看自己把握了。跟我一屇的一組，在第 1 期 向 為：數(shù)學(xué)建模競賽新手教程 9
第一次選拔賽中沒有被選上，但他們?nèi)匀粓猿謪⒓雍髞淼呐嘤?xùn)，最后參加了 2001 年的全國賽，并取得全
國一等獎。
對于王瑛的文章，我有很多不同意的地方，也請大家不要太當(dāng)真，對的地方接受，不對的地方就舍
棄。首先，文中提到“數(shù)學(xué)建模真的很難”，我就不同意。之所以第一次參加比賽沒有什么結(jié)果，是因為
我們沒有重視，一點兒準(zhǔn)備都沒有，事前對數(shù)學(xué)建模是什么都不太了解，就開始去做全國競賽題，當(dāng)然做
不出什么。其實數(shù)學(xué)建模競賽不過是數(shù)學(xué)應(yīng)用題罷了。
今天‡偷偷懶，用了別人的文章。下一章我會詳細寫一下我們參加全國數(shù)學(xué)建模競賽的全過程。
4 實戰(zhàn)
2001 年 9 月未，我們終于迎來了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。那時候西山居有一個游戲剛剛出爐，
里面有一首歌叫做“愛的廢墟”
藍藍的天空是誰的身體
讓云掠奪而去留下感情的證據(jù)
當(dāng)感情在你的心里慢慢的扭曲
我的愛對你是不是委屈加上了恐懼
傷心的流星凄涼的逃避
留下星星收拾這不負責(zé)任的結(jié)局
是誰把天空撕裂出星星的傷口
抹殺了我的自由還有浪漫的溫柔
如果說天外的雨是星星為我落下的淚滴
我不知道在你心里是否還有受傷的痕跡
如果說心中的雨是來自一處殘破的屋宇
我不知道呵護的記憶是否會成為埋藏愛的廢墟
不知道為什么，我比較喜歡憂傷的感覺，就象這首歌給人的感覺一樣，那樣容易讓人產(chǎn)生力量
在競賽開始的前一天，我和兩位搭擋就開始往招待所里面搬運必要的作戰(zhàn)武器了。列個清單吧：
• 數(shù)學(xué)手冊一套（5 冊）每一冊都有一個拳頭那么厚
• 高等數(shù)學(xué)教科書（國防科大），概率論（復(fù)旦大學(xué)），數(shù)值分析（國防科大），MATLAB 的一些參考
書，C 語言教程（譚浩強的那本），等等等等
• 三臺自己的電腦，都是賽揚 533、566 之類的配置，且均有網(wǎng)卡、UPS 不間斷電源及網(wǎng)線（當(dāng)時用的
是同軸電纜），一個 Modem。軟件有 MATLAB，Visual C++，Microsoft Word，Windows 2000 操作
系統(tǒng)（當(dāng)時還沒有學(xué)會 Visio，其他軟件好像就沒有什么了）
• 從學(xué)院的機關(guān)里借了一臺 HP 的 Laser Jet 6.0 打印機
• · · · · · ·
這么多東西當(dāng)然不是人力所能承受的，還好學(xué)校給了輛不大不小的車。
一切準(zhǔn)備就緒，我們就入住了學(xué)校南門外的招待所里（以前條件一般，具說現(xiàn)在已經(jīng)改建的上檔次
了，哈哈，一般人住不上）。老師告訴我們第二天早上 8:00 從網(wǎng)上 Down 題目，但不知道是誰傳來了一個
消息，說晚上就有可能從網(wǎng)上下載到題目。于是整個晚上我們都沒有睡安穩(wěn)，時不時上一下網(wǎng)，看一看能
不能下載賽題了。但是最終還是在第二天早上 8:00 才搞到題目/
‡編輯注：本文最初在 SHUMO.COM 連載，不是一次完成的10 數(shù) 模 2004 年
數(shù)學(xué)建模競賽一般有四道題目，其中有兩道是本科組的，兩道是?？平M的§。專科組與本科組有一道
題是基本相同的。題目分別是：血管的三維重建，公交車調(diào)度問題。
這兩道題得選一道做。選哪一道呢？仔細研究了一下，我們發(fā)現(xiàn)，公交車調(diào)度是一個最優(yōu)化的問題，
而血管的三維重建偏重于算法。與是我們?nèi)撕敛华q豫的選擇了血管的三維重建。附帶說一句，原因是
什么呢？因為我們曾在一年前也做過一個最優(yōu)化的問題，那一次是鋼管運輸問題，做的奇差，于是大家心
有余悸，盡量不選這類題目。
題目：http://csiam.edu.cn/mcm/mcm01/AB01.htm
血管的三維重建，遇見的第一個困難就是―怎么把那些 BMP 的圖像給讀進來，存為二進制的矩陣？
一開始，我們?nèi)D書館找到了《BMP 文件格式》的書，準(zhǔn)備利用 C 程序把 BMP 給讀出來。剛準(zhǔn)備著手
去做的時候，我們卻意外的發(fā)現(xiàn) MATLAB 中有現(xiàn)成的函數(shù) imread 可以用！真是天助我也，馬上把所有
100 張 BMP 圖片給讀了進來，把每一個切片圖的 BMP 文件轉(zhuǎn)化為一個 512×512 的 0，1 矩陣。并利用
save 函數(shù)，打開 ASCII 開關(guān)，把每一個矩陣存都存為了 txt 的文檔。這樣，C 程序就可以直接使用了。
在上面的過程中，我們發(fā)覺題中給的 BMP 的命名不太好，它是 0，1，2…到 99 的，我們把這些名字
改成了 01,02,03,04,....99，把所有的文件名都改成了兩位的，方便操作。
接下來就是如何得出結(jié)果了。首先我們在圖書館里查了很久，看有沒有論文解決相類似的問題。不
但要查中文的，還要查英文的。順便說一句，英語真的很重要，在網(wǎng)上，英文更是當(dāng)之無愧的霸主，想利
用網(wǎng)絡(luò)查找資料，英語不好則寸步難行。我們發(fā)現(xiàn)了醫(yī)學(xué)上的 CT 成像技術(shù)有可以借鑒的地方。這些資
料不一定有用，但能夠很好的開拓我們的思路，花時間在上面是值得的。
然后，我們想啊想啊，不停的想來想去，并且用 ACDSEE 把這 100 張 BMP 的圖像放幻燈版似的正
放倒放，還用像皮什么的模擬成血管，彎來彎去。最后，憑直覺猜測—能夠被切片包含的半徑最大的圓的
半徑等于原始球（形成包絡(luò)的球）的半徑。
于是我們開始了分頭的工作，一方面一個人去證明這個結(jié)論。另一方面，開始編程實現(xiàn)這個想法。
在編寫程序的過程中，我們還延伸出了兩個假設(shè)：可以被切片包含的圓的半徑一定小于等于原始球
的半徑；不能被包含于切片的圓的半徑一定大于原始球的半徑。呵呵，利用這兩個假設(shè)，就很容易的用二
分法搞定了這個程序。不過程序運行起來可不輕松。我們把程序分到三個機子上工作，每一個機子上算
一部分圖，這也算是并行式算法了吧。就是這么算，也用了一個晚上的時間。在其間，我們還修改了一點
算法，重新算了一遍。的確，算法是要不斷改進的，請看這句：“因為所給數(shù)據(jù)精度有限，所以包含于切片
中的以原始球的半徑為半徑的圓可能不止一個”，這就是在算法實現(xiàn)過程中發(fā)現(xiàn)的。一開始，是很難想到
這些細節(jié)的。
還提一個細節(jié)，用 Windows console 程序，或是用 DOS 程序（Turbo C）編寫這個程序很難。因為我
們最小就要用到 512×512 的矩陣，在算法編寫的過程中，為了方便，還會用到更大的矩陣。但是 DOS 是
不支持這么大的矩陣數(shù)組的，所以建議大家都編寫 32 位的 Windows 程序。
我們提了這些假設(shè)，要完全科學(xué)的證明可真不容易。有時候，他認為理所當(dāng)然的事情，我認為應(yīng)該證
明出來；我認為邏輯混亂的證明，他確認為完全正確。呵呵，于是，我們爭論一會兒，證明一會兒，再交
流一會兒，再爭論。一次，我爭論的冒火，心就好像要爆炸了，心想，這競賽我不做了！我回學(xué)校！我為
什么要和你們合作？我為什么要遷就你們？我不干了！我強忍著，沒有說話，走到窗前，仰頭看了看外面
的藍天，突然間想起了那首歌―“藍藍的天空，是誰的身體· · · · · ·”，我慢慢的哼起來，一剎那，一切都清
靜了。我默默的坐到電腦旁，繼續(xù)編起了程序· · · · · ·
第一天晚上睡了 4 個小時，那個晚上睡了 2 個小時。算完之后，就只有一天了。第三天晚上，沒有睡
覺，因為要趕論文。
§編輯注：現(xiàn)在稱為甲組、乙組第 1 期 向 為：數(shù)學(xué)建模競賽新手教程 11
由于我們不怎么會用 Word，圖表的編號、排版都是純手工的，太苦了，唯有身在其中方能體會呀。
經(jīng)過了大量體力勞動，論文完工了，來不及仔細檢查，就打出來上交了。剛交完，我們就發(fā)現(xiàn)了的圖的編
號命名出了點兒錯誤，唉，大家謹記我們的教訓(xùn)！
順便說一點兒做數(shù)學(xué)建模題的小經(jīng)驗。
1. 隨時記下自己的假設(shè)。有時候在自己很合理的假設(shè)下開始了下一步的工作，我們就應(yīng)該順手把這個
假設(shè)給記下來，否則到了最后會搞忘記的。而且這也會讓我們的解答更加嚴謹。
2. 隨時記錄自己的想法，并且不留余地的完全的表達自己的思想。在比賽后，老師講評優(yōu)秀論文時，有
很多同學(xué)常常抱怨，這個想法我也想到了的啊，就是沒有表達出來，或是沒有表達清楚。但常常就是
這一點別人沒有表達清楚的東西，促成了一篇優(yōu)秀論文。
3. 要有自己的特色。這么多數(shù)學(xué)建模競賽論文，憑什么讓老師們投自己一票？當(dāng)然得有自己的特色了。
通俗點兒，就是要有自己的閃光點。
5 結(jié)束語
及榮華之未落兮，相下女之可治
新手教程寫到今天，也差不多了，后面的，就不應(yīng)該只是新手教程了，應(yīng)該是提高教程，我能力不夠，
寫不出來了。還希望有高手能夠把教程續(xù)繼下去。這一系列教程文字拙劣、思想簡單，還請大家容忍。我
建議大家再看一看 董乘宇寫的“數(shù)學(xué)建模競賽中應(yīng)當(dāng)掌握的十類算法”[2]（在編程交流版塊），好好練習(xí)
練習(xí)。再多做幾道數(shù)學(xué)建模競賽的題目，再與優(yōu)秀論文比照比照。
常有人問：我覺得自己什么都不會，我不會用 MATLAB，我不會用 C++，或是我的程序編的不精
通，我的數(shù)學(xué)知識就那么一點兒，我沒寫過幾篇論文，我懷疑自己什么都干不成· · · · · ·其實，誰又知道自
己一定能拿獎呢？誰能保證什么都會，什么都精通？誰又能保證以完美的狀態(tài)去參加競賽呢？不要太苛求
自己，不要對自己沒有信心。即使面對的是無法超越的崖，也要勇敢的跳過去。不試，你怎么知道呢？沒
有必要去學(xué)那么多的東西，數(shù)學(xué)建模競賽，競賽而已。
參考文獻
[1] 王瑛. 數(shù)模之路[J]. 數(shù)模，2004，1:1-2.
[2] 董乘宇. 數(shù)學(xué)建模競賽中應(yīng)當(dāng)掌握的十類算法[J]. 數(shù)模，2004，1
來源：福建師大學(xué)生門戶 文章詳見：http://www.fjnumcs.com/forum.php?mod=redirect&goto=nextnewset&tid=12877
