關(guān)于梅森素數(shù)是否有無窮多個的判定方法

在網(wǎng)上讀到了《梅森素數(shù)：千年不休的探索之旅》一文，知道在2300多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家，那位寫出不朽的《兒何原本》的歐兒里得證明了素數(shù)有無窮多個之后，就順便指出：有許多素數(shù)可以寫成2^p-1的形式，其中指數(shù)p也是素數(shù)。

在網(wǎng)上又讀到梅森數(shù)的《百科名片》，它將關(guān)于梅森數(shù)的概念、由來、位數(shù)計算、探索歷程和意義的資料都編輯到一起，內(nèi)容十分珍貴。千百年來一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者對它進行研究；雖然已經(jīng)揭示了一些規(guī)律，但圍繞著它然有許多未解之謎，等待著人們?nèi)ヌ剿鳌Ｎ恼伦詈笳f，有必要指出的是：素數(shù)有無窮多個，這一點早為歐兒里得發(fā)現(xiàn)并證得。然而，梅森素數(shù)是否有無窮多個？這是目前尚未解決的著名數(shù)學(xué)難題，而揭開這一未解之謎，正是科學(xué)家追求的目標。

對于這個“數(shù)學(xué)難題”，我想直爽地講述自己的看法，供大家參考，并希望共同探討。

一、所有素數(shù)都分布在6倍自然數(shù)的兩側(cè)，即6N-1和6N+1二條算術(shù)級數(shù)的數(shù)列里，我把6N-1（N為自然數(shù)）稱為左素數(shù)，6N+1稱為右素數(shù)，這兩條數(shù)列里除了包含全部的真素數(shù)外，還包含了大量的假素數(shù)即合數(shù)。

其原理是：自然數(shù)列1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13...............先去掉2和3的整倍數(shù)，數(shù)列變成1、--5、7--11、13--17、19--23、25.....

這個數(shù)列可以用6N±1未概括，“即6倍自然數(shù)的兩側(cè)”。事先去掉的都是數(shù)因子為2和3的整倍數(shù)，即合數(shù)，我稱它為假素數(shù)，真素數(shù)則一個也沒有去掉，都在6N±1數(shù)列里。

二、梅森數(shù)2^p-1（p為素數(shù)）是包含在2ⁿ-1（n為自然數(shù)）數(shù)列里，2¹=2、2²=4、2³=8、2⁴=16、2⁵=32、2⁶=64、2⁷=128、2⁸=256..........它的規(guī)律是n每增加1，2ⁿ的值就翻一倍，其尾數(shù)是2、4、8、6、2、4、8、6.....四個數(shù)字循環(huán)。

2ⁿ-1對應(yīng)的數(shù)值是2¹-1=1、2²-1=3、2³-1=7、2⁴-1=15、2⁵-1=31、2⁶-1=63、2⁷-1=127、2⁵-1=255........其尾數(shù)是1、3、7、5、1、3、7、5......四個數(shù)字循環(huán)。

更有趣的是n為偶數(shù)時2ⁿ-1的數(shù)值都是合數(shù)，其尾數(shù)是3和5，正巧也是合數(shù)的素因子。

n是奇數(shù)時2ⁿ-1的值有素數(shù)也有合數(shù)，其尾數(shù)為1和7，詳細內(nèi)容請看本人發(fā)表的上一篇文章《揭開梅森素數(shù)的奧秘》其中的2ⁿ和2ⁿ-1數(shù)列分析表。

p是素數(shù)屬于奇數(shù)（2除外），當2^p-1等于合數(shù)時稱為梅森數(shù)，只有2^p-1等于素數(shù)時才稱為梅森素數(shù)。

三、2ⁿ-1的數(shù)值屬于8N-1數(shù)列（n和N為自然數(shù)），其值為1、3、7、15、31、63、127、255........（其中1、3小于8-1，除外）。

2^p-1數(shù)列的值為2²-1=3、2³-1=7、2⁵-1=31、2⁷-1=127..........也屬于8N-1數(shù)列，其中3除外，由于素數(shù)p不同于自然數(shù)，不是連續(xù)的，再有n和p都是2的指數(shù)，故結(jié)果不能象8N-1那樣的算術(shù)級數(shù)，N每增加1,8N-1就增加8，而是跳躍地呈8的整倍數(shù)增長。

與梅森數(shù)相似的，也是同時代出現(xiàn)的法國數(shù)學(xué)家費馬數(shù)形式為

Fn=2^2∧n+1，n為自然數(shù)，其相應(yīng)的值是，

F0=2^2∧0+1=2¹+1=2+1=3

F1=2^2∧1+1=2²+1=4+1=5

F2=2^2∧2+1=2⁴+1=16+1=17

F3=2^2∧3+1=2⁸+1=256+1=257

F4=2^2∧4+1=2¹⁶+1=65536+1=65537

F5=2^2∧5+1=2³²+1=4294967296+1=4294967297

費馬數(shù)除3、5外，屬于8N+1數(shù)列，由于是雙重指數(shù)形式，其數(shù)值比梅森數(shù)跳躍得更快。

四、只有在8N-1與6N+1的數(shù)值相同時才能找到梅森素數(shù)或梅森數(shù)，因為8N-1數(shù)列也含有部分素數(shù)。6N±1數(shù)列則包含了全部素數(shù)，只有與6N+1數(shù)列重疊，即數(shù)值相等時，才能確定這個值是素數(shù)或假素數(shù)。

例如2³-1=8-1=6+1=7

2⁵-1=32-1=6*5+1=32-1=30+1=31

2⁷-1=128-1=6*21+1=127=126+1=127

2¹¹-1=2048-1=6*341+1=2048-1=2046+1=2047

指數(shù)n=3、5、7、11都是素數(shù)相當于p，即2^p-1的梅生數(shù)與6N+1的數(shù)列相重疊，即數(shù)值相等，其最終值7、31、127是素數(shù)，2047含有23和89兩個素因子，23*89=2047是假素數(shù)，即合數(shù)。

同樣原理，費馬數(shù)中的素數(shù)是（8N+1）與（6N-1）的數(shù)值相同時才能找到。

F2=2^2∧2+1=2⁴+1=16+1=6*3-1=17

F3=2^2∧3+1=2⁸+1=256+1=6*43-1=257=258-1=257

F4=2^2∧4=216+1=65536+1=8*8192+1=65537(8N+1)6*10923-1

=65538-1=65537(6N-1)

17、257、65537均為素數(shù)。

五、6N±1數(shù)列適合尋找全部素數(shù)，請看本人第一篇文《素數(shù)分布規(guī)律的探索》，

梅森素數(shù)和費馬素數(shù)適合跳躍式地尋找大素數(shù)。梅森素數(shù)在這方面做出了杰出的貢獻，

6N±1是算術(shù)級數(shù)，自然數(shù)N值和素數(shù)值6N±1是同步增長僅差6倍，屬于同一個數(shù)量級。隨著自然數(shù)的增長，素數(shù)值也增長，只是素數(shù)與自然數(shù)的比例，開始時多，往后明顯減少。合數(shù)的比例則相反，開始時少，往后明顯增加，當自然數(shù)趨向無窮大時，出現(xiàn)素數(shù)的概率則趨向于零。

由于N的數(shù)值很大，一路上累計找到素數(shù)的數(shù)量也是很大，所以說古希臘數(shù)學(xué)大師歐幾里得早就證明了素數(shù)有無窮多個的道理是正確的。當代人設(shè)想，既然素數(shù)有無窮多個，那么就應(yīng)該有一個素數(shù)數(shù)列的公式，為尋找這個公式，人們耗盡了巨大的心血，（參見“百度百科”素數(shù)分布）。在數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)高度發(fā)達的今天為什么發(fā)現(xiàn)一個已知的最大的素數(shù)都如此困難？找到一個已知的最大梅森素數(shù)竟成科學(xué)上的大事？！.............

寫了這么多是為了對梅森素數(shù)是否有無窮多個？這是目前尚未解決的著名數(shù)學(xué)難題做準備。現(xiàn)在試著來揭開這一未解之謎，因為這個題目是沒有肯定，說是，說否都要拿出原理上和事實上的充分理由和根據(jù)才能判定。

我的理由之一，素數(shù)是包含在6N±1的算術(shù)級數(shù)之內(nèi)，素數(shù)的值是與自然數(shù)的值在相同的數(shù)量級內(nèi)同步增長，當N趨向于無窮大時，6N±1數(shù)列上的素數(shù)值也趨向于無窮大，6N±1數(shù)列除包含全部素數(shù)之外，還包含大量的假素數(shù)即合數(shù)。素數(shù)在N小的時候出現(xiàn)概率較大，素數(shù)在N大的時候出現(xiàn)概率變小，N為無窮大時出現(xiàn)的概率為零。但前后累加起來的總數(shù)量仍然是很大的。這樣當N趨向無窮大時，素數(shù)的總數(shù)量和單個素數(shù)的最大值都會趨向無窮大。

理由之二、梅森素數(shù)的表達式為Mp=2^p-1,它是指數(shù)函數(shù)，隨著p的增加Mp會呈p次方增加，（見本文表格），當梅森素數(shù)的個數(shù)為2位數(shù)時，梅森素數(shù)的值已達到一千萬位了?？梢婋S著自然數(shù)N的增加梅森素數(shù)的值完全能領(lǐng)先于N值趨向無窮大，而梅森素數(shù)的個數(shù)是無法達到無窮大，因為他們的數(shù)量級差距太大。

理由之三、梅森素數(shù)的形成必須要8N-1數(shù)列和6N+1數(shù)列的某個數(shù)值相同時才能產(chǎn)生梅森數(shù)或梅森素數(shù)，這樣梅森素數(shù)的數(shù)量將遠小于素數(shù)的數(shù)量。

理由之四、實際資料有：梅森素數(shù)的個數(shù)與梅森素數(shù)值的位數(shù)資料表，和“在某個自然數(shù)N以內(nèi)素數(shù)與梅森素數(shù)的個數(shù)對比表。

在40000自然數(shù)以內(nèi)，素數(shù)占自然數(shù)的比例為10.05%，應(yīng)該屬同一個數(shù)量級或僅相差一個數(shù)量級，可稱作同步進行。梅森素數(shù)值為8191時，僅有5個梅森素數(shù)，占數(shù)值的0.061%。梅森素數(shù)的個數(shù)上升到10個時，其數(shù)值位數(shù)已由4位數(shù)上升到27位數(shù)。往后上升得更快。（見表），其所占比例已無法用百分數(shù)，萬分數(shù)億分數(shù)來表達了。只好空白起來由讀者自己理解了。

理由之五、對于無窮大這個概念，數(shù)學(xué)書上有明確的定義，但在每個人的心中，也有自己的理解。因為它不是一個確定的數(shù)值，也不是象無限小那樣以零為極限。在討論素數(shù)個數(shù)的場合，我想還是以相對自然數(shù)N的個數(shù)的發(fā)展到什么程度為對比較合適。即自然數(shù)趨向到無窮大，素數(shù)能同步則稱為無窮大，如不能同步，而且落后幾個或幾十個數(shù)量級則不能稱無窮大。

有了以上五段關(guān)于素數(shù)和梅森素數(shù)原理的表達，以及五條理由和數(shù)據(jù)資料，我就對梅森素數(shù)是否有無窮多個的“數(shù)學(xué)難題”提出判定意見。

1、Mp=2^p-1是指數(shù)函數(shù)，Mp值的增長，大大超過P值的增長，即梅森素數(shù)的數(shù)值，會大大超過素數(shù)的值，提前接近無窮大，但梅森素數(shù)的數(shù)值不是本題目的內(nèi)容。

2、證明梅森素數(shù)沒有無窮多個，并不是難題。因為梅森素數(shù)的出現(xiàn)是有條件的。第一，Mp=2^p-1中梅森素數(shù)是以素數(shù)的數(shù)量為基礎(chǔ)的，每代入一個素數(shù)p，只能產(chǎn)生一個梅生數(shù)，其中一部分才是梅森素數(shù)。第二，梅森數(shù)要在二個算術(shù)數(shù)列8N-1=6N+1數(shù)值相同的情況下才可能產(chǎn)生梅森數(shù)，比6N±1要少很多。第三、從梅森素數(shù)資料表中看到，它的數(shù)值增加得很快，數(shù)量且增加得非常之慢。

因為在自然數(shù)趨近無窮大時，梅森素數(shù)的數(shù)量不會同步接近無窮大，甚至差得很遠。

3、梅森素數(shù)是否有無窮多個的命題，應(yīng)該是在17世紀時代提出來的，因為那時數(shù)學(xué)家已證明了素數(shù)有無窮多個，而梅森素數(shù)只發(fā)現(xiàn)不足10個，故提出一個問號梅森素數(shù)是否有無窮多個？作為一個數(shù)學(xué)難題留給后人去解決。

現(xiàn)在看來大家都會判定梅森素數(shù)沒有無窮多個。

于漢頤

2011.9.21

老漢數(shù)數(shù)

梅森素數(shù)的個數(shù)與梅森素數(shù)值的位數(shù)資料表

梅森素數(shù)的 個數(shù)號	P（素數(shù)）	梅森素數(shù)的值	梅森素數(shù)值的位數(shù)
5	13	8191	4
10	89	618970019...449562111	27
15	1,279	104079321...168729087	386
20	4,423	285542542...608580607	1,332
25	21,701	448679166...51188275	6,533
30	132,049	512740276...730061311	39,751
35	1,398,269	814717564...45131571	420,921
40	20,996,011	125976895...855682047	6,320,430
45	37,156,667	202254406...308220927	11,185,272
46	43,112,609		12,928,189

這里是借用梅森數(shù)“百科名片”的資料，足以說明問題。如第45個梅森素數(shù)的數(shù)值已高達11185272位，即一千一百多萬位，10000五位為萬，100000000九位為億，一千多位我都不知道怎樣稱呼了。與我們常用的素數(shù)表里的位數(shù)相比真也算靠近無窮大了。

在某個自然數(shù)N以內(nèi)素數(shù)與梅森素數(shù)的個數(shù)對比表

素數(shù)

梅森素數(shù)：

愛華網(wǎng)本文地址 » http://www.klfzs.com/a/25101010/33686.html