為我們的班級添光，為我們個(gè)人爭光，祝你八年級數(shù)學(xué)期末考試成功!小編整理了關(guān)于八年級上冊數(shù)學(xué)期末測試卷，希望對大家有幫助!

八年級上冊數(shù)學(xué)期末測試卷試題

一、選擇題(共12小題，每小題3分，滿分36分)

1.要使分式 有意義，x的取值范圍滿足( )

A.x=0 B.x≠0 C.x>0 D.x<0

2.下列各式中能用平方差公式是( )

A.(x+y)(y+x) B.(x+y)(y﹣x) C.(x+y)(﹣y﹣x) D.(﹣x+y)(y﹣x)

3.下列計(jì)算結(jié)果正確的是( )

A.x?x2=x2 B.(x5)3=x8 C.(ab)3=a3b3 D.a6÷a2=a3

4.下列長度的三條線段，哪一組不能構(gòu)成三角形( )

A.3，3，3 B.3，4，5 C.5，6，10 D.4，5，9

5.如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是( )

A.AB=2BF B.∠ACE= ∠ACB C.AE=BE D.CD⊥BE

6.如圖，將兩根等長鋼條AA′、BB′的中點(diǎn)O連在一起，使AA′、BB′可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個(gè)測量工件，則AB的長等于容器內(nèi)徑A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )

A.邊邊邊 B.邊角邊 C.角邊角 D.角角邊

7.下列計(jì)算正確的是( )

A.32=6 B.3﹣1=﹣3 C.30=0 D.3﹣1=

8.已知y2+10y+m是完全平方式，則m的值是( )

A.25 B.±25 C.5 D.±5

9.如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，則∠BDC的度數(shù)為( )

A.72° B.36° C.60° D.82°

10.在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且AB=AC+CD，若∠BAC=75°，則∠ABC的大小為( )

A.25° B.35° C.37.5° D.45°

11.若分式 ，則分式 的值等于( )

A.﹣ B. C.﹣ D.

12.若x2+cx+6=(x+a)(x+b)，其中a，b，c為整數(shù)，則c的取值有( )

A.1個(gè) B.2個(gè) C.4個(gè) D.8個(gè)

二、填空題(共7小題，每小題4分，滿分28分)

13.計(jì)算3a2b3?(﹣2ab)2= .

14.分解因式：a2b﹣b3= .

15.如圖，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，則PQ= .

16.如圖，將一張長方形紙片折疊成如圖所示的形態(tài)，∠CBD=40°，則∠ABC= .

17.如圖，點(diǎn)E為等邊△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AD⊥BC，且AD=5，P為AD上的動點(diǎn)，則PE+PC的最小值為 .

18.若關(guān)于x的分式方程 無解，則m的值是 .

19.如圖，在等邊△ABC中，AC=3，點(diǎn)O在AC上，且AO=1.點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，連接OP，以線段OP為一邊作正△OPD，且O、P、D三點(diǎn)依次呈逆時(shí)針方向，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在邊BC上時(shí)，則AP的長是 .

三、解答題(共5小題，滿分56分)

20.解答下列各題：

(1)分解因式：4a2﹣8ab+4b2﹣16c2

(2)計(jì)算：(2a+b)(2a﹣b)+b(2a+b)﹣8a2b÷2b

(3)化簡求值：( ﹣ )÷ ，其中x=﹣3

(4)解分式方程： ﹣1= .

21.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.求證：

(1)FC=AD;

(2)AB=BC+AD.

22.如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點(diǎn).

23.從2014年春季開始，我縣農(nóng)村實(shí)行垃圾分類集中處理，對農(nóng)村環(huán)境進(jìn)行綜合整治，靚化了我們的家園.現(xiàn)在某村要清理一個(gè)衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾，若用甲、乙兩車運(yùn)送，兩車各運(yùn)15趟可完成，已知甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾，乙車所運(yùn)趟數(shù)是甲車的3倍，求甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾各需運(yùn)多少趟?

24.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中還要學(xué)習(xí)的十字相乘法，但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了.過程為：x2﹣4y2﹣2x+4y=(x+2y)(x﹣2y)﹣2(x﹣2y)=(x﹣2y)(x+2y﹣2)這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種方法解決下列問題：

(1)分解因式：a2﹣4a﹣b2+4;

(2)△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判斷△ABC的形狀.

八年級上冊數(shù)學(xué)期末測試卷參考答案

一、選擇題(共12小題，每小題3分，滿分36分)

1.要使分式 有意義，x的取值范圍滿足( )

A.x=0 B.x≠0 C.x>0 D.x<0

【分析】根據(jù)分母不等于0，列式即可得解.

【解答】解：根據(jù)題意得，x≠0.

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：

(1)分式無意義?分母為零;

(2)分式有意義?分母不為零;

(3)分式值為零?分子為零且分母不為零.

2.下列各式中能用平方差公式是( )

A.(x+y)(y+x) B.(x+y)(y﹣x) C.(x+y)(﹣y﹣x) D.(﹣x+y)(y﹣x)

【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到結(jié)果.

【解答】解：能用平方差公式是(x+y)(y﹣x)=y2﹣x2，

故選B

【點(diǎn)評】此題考查了平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.

3.下列計(jì)算結(jié)果正確的是( )

A.x?x2=x2 B.(x5)3=x8 C.(ab)3=a3b3 D.a6÷a2=a3

【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減;同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加;冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對各選項(xiàng)計(jì)算后利用排除法求解.

【解答】解：A、x?x2=x2同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、(x5)3=x15，冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C、(ab)3=a3b3，故本選項(xiàng)正確;

D、a6÷a2=a3同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查同底數(shù)冪的除法，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方很容易混淆，一定要記準(zhǔn)法則才能做題.

4.下列長度的三條線段，哪一組不能構(gòu)成三角形( )

A.3，3，3 B.3，4，5 C.5，6，10 D.4，5，9

【分析】先回顧一下三角形的三邊關(guān)系定理，根據(jù)判定定理逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A、3+3>3，符合三角形的三邊關(guān)系定理，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B，3+4>5，3+5>4，5+4>3，符合三角形的三邊關(guān)系定理，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、5+6>10，5+10>6，6+10>5，符合三角形的三邊關(guān)系定理，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D、4+5=9，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，故本選項(xiàng)正確;

故選D.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和辨析能力，注意：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.

5.如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是( )

A.AB=2BF B.∠ACE= ∠ACB C.AE=BE D.CD⊥BE

【分析】從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.

三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線.

三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.依此即可求解.

【解答】解：∵CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，

∴CD⊥BE，∠ACE= ∠ACB，AB=2BF，無法確定AE=BE.

故選C.

【點(diǎn)評】考查了三角形的角平分線、中線和高，根據(jù)是熟悉它們的定義和性質(zhì).

6.如圖，將兩根等長鋼條AA′、BB′的中點(diǎn)O連在一起，使AA′、BB′可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個(gè)測量工件，則AB的長等于容器內(nèi)徑A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )

A.邊邊邊 B.邊角邊 C.角邊角 D.角角邊

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可.

【解答】解：∵AA′、BB′的中點(diǎn)O連在一起，

∴OA=OA′，OB=OB′，

又∵∠AOB=∠A′OB′，

∴△OAB≌△OA′B′的理由是“邊角邊”.

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.

7.下列計(jì)算正確的是( )

A.32=6 B.3﹣1=﹣3 C.30=0 D.3﹣1=

【分析】根據(jù)乘方的意義判斷A;根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義判斷B;根據(jù)零指數(shù)冪的意義判斷C;根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義判斷D.

【解答】解：A、32=9，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、3﹣1= ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C、30=1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D、3﹣1= ，故本選項(xiàng)正確;

故選D.

【點(diǎn)評】本題考查了乘方的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義，是基礎(chǔ)知識，需熟練掌握.

8.已知y2+10y+m是完全平方式，則m的值是( )

A.25 B.±25 C.5 D.±5

【分析】直接利用完全平方公式求出m的值.

【解答】解：∵y2+10y+m是完全平方式，

∴y2+10y+m=(y+5)2=y2+10y+25，

故m=25.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了完全平方公式，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.

9.如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，則∠BDC的度數(shù)為( )

A.72° B.36° C.60° D.82°

【分析】先根據(jù)AB=AC，∠A=36°求出∠ABC及∠C的度數(shù)，再由垂直平分線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C= = =72°，

∵DE垂直平分AB，

∴∠A=∠ABD=36°，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°.

故選A.

【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

10.在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且AB=AC+CD，若∠BAC=75°，則∠ABC的大小為( )

A.25° B.35° C.37.5° D.45°

【分析】可在AB上取AC′=AC，則由題中條件可得BC′=C′D，即∠C=∠AC′D=2∠B，再由三角形的內(nèi)角和即可求解∠B的大小.

【解答】解：在AB上取AC′=AC，

在△ACD和△AC′D中，

，

∴△ACD≌△AC′D(SAS)，

又∵AB=AC+CD，得AB=AC′+C′D，

∴BC′=C′D，

∴∠C=∠AC'D=2∠B，

又∵∠B+∠C=180°﹣∠BAC=105°，

∴∠B=35°.

故選B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，熟記相似三角形的判定和巧作輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.若分式 ，則分式 的值等于( )

A.﹣ B. C.﹣ D.

【分析】根據(jù)已知條件，將分式 整理為y﹣x=2xy，再代入則分式 中求值即可.

【解答】解：整理已知條件得y﹣x=2xy;

∴x﹣y=﹣2xy

將x﹣y=﹣2xy整體代入分式得

=

=

=

= .

故答案為B.

【點(diǎn)評】由題干條件找出x﹣y之間的關(guān)系，然后將其整體代入求出答案即可.

12.若x2+cx+6=(x+a)(x+b)，其中a，b，c為整數(shù)，則c的取值有( )

A.1個(gè) B.2個(gè) C.4個(gè) D.8個(gè)

【分析】已知等式右邊利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，即可確定出c的取值個(gè)數(shù).

【解答】解：x2+cx+6=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，

可得c=a+b，ab=6，

即a=1，b=6，此時(shí)c=1+6=7;a=2，b=3，此時(shí)c=2+3=5;a=﹣3，b=﹣2，此時(shí)c=﹣3﹣2=﹣5;a=﹣1，b=﹣6，此時(shí)c=﹣1﹣6=﹣7，

則c的取值有4個(gè).

故選C

【點(diǎn)評】此題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題(共7小題，每小題4分，滿分28分)

13.計(jì)算3a2b3?(﹣2ab)2= 12a4b5 .

【分析】首先利用積的乘方運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法則求出即可.

【解答】解：3a2b3?(﹣2ab)2=3a2b3?4a2b2=12a4b5.

故答案為：12a4b5.

【點(diǎn)評】此題主要考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

14.分解因式：a2b﹣b3= b(a+b)(a﹣b) .

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行二次因式分解.平方差公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).

【解答】解：a2b﹣b3，

=b(a2﹣b2)，(提取公因式)

=b(a+b)(a﹣b).(平方差公式)

故答案為：b(a+b)(a﹣b).

【點(diǎn)評】本題考查提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次分解，注意分解因式要徹底.

15.如圖，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，則PQ= 2 .

【分析】過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠BCP的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得PM的長，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得到PM=PQ，從而求得PQ的長.

【解答】解：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，

∵PC∥OA，

∴∠COP=∠CPO=∠POQ=15°，

∴∠BCP=30°，

∴PM= PC=2，

∵PQ=PM，

∴PQ=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì);解決本題的關(guān)鍵就是利用角平分線的性質(zhì)，把求PQ的長的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

16.如圖，將一張長方形紙片折疊成如圖所示的形態(tài)，∠CBD=40°，則∠ABC= 70° .

【分析】首先根據(jù)鄰補(bǔ)角定義可得∠CBC′=180°﹣40°=140°，再根據(jù)折疊可得∠CBA=∠C′BA，進(jìn)而得到答案.

【解答】解：∵∠CBD=40°，

∴∠CBC′=180°﹣40°=140°，

根據(jù)折疊可得∠CBA=∠C′BA，

∴∠ABC=140°÷2=70°，

故答案為：70°.

【點(diǎn)評】此題主要考查了翻折變換，關(guān)鍵是掌握圖形翻折后哪些角是對應(yīng)相等的.

17.如圖，點(diǎn)E為等邊△ABC中AC邊的中點(diǎn)，AD⊥BC，且AD=5，P為AD上的動點(diǎn)，則PE+PC的最小值為 5 .

【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，連接BE，則線段BE的長即為PE+PC最小值.

【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，且AD=5，

∴AB= = = ，

連接BE，線段BE的長即為PE+PC最小值，

∵點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，

∴CE= AB= × = cm，

∴BE= = = =5，

∴PE+PC的最小值是5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

18.若關(guān)于x的分式方程 無解，則m的值是 3 .

【分析】先把分式方程化為整式方程得到x=m﹣2，由于關(guān)于x的分式方程 無解，則最簡公分母x﹣1=0，求得x=1，進(jìn)而得到m=3.

【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，

x=m﹣2.

∵關(guān)于x的分式方程無解，

∴最簡公分母x﹣1=0，

∴x=1，

當(dāng)x=1時(shí)，得m=3，

即m的值為3.

故答案為3.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的解：使分式方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值叫分式方程的解.當(dāng)分式方程無解時(shí)可能存在兩種情況：(1)原分式方程存在增根;(2)原分式方程去分母后，整式方程無解.本題中由于原分式方程去分母后，得到的整式方程為一元一次方程，必定有解，所以只有一種情況.

19.如圖，在等邊△ABC中，AC=3，點(diǎn)O在AC上，且AO=1.點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，連接OP，以線段OP為一邊作正△OPD，且O、P、D三點(diǎn)依次呈逆時(shí)針方向，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在邊BC上時(shí)，則AP的長是 2 .

【分析】如圖，通過觀察，尋找未知與已知之間的聯(lián)系.AO=1，則OC=2.證明△AOP≌△COD求解.

【解答】解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，

∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，

∴∠CDO=∠AOP.

∴△ODC≌△POA.

∴AP=OC.

∴AP=OC=AC﹣AO=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是利用全等把所求的線段轉(zhuǎn)移到已知的線段上.

三、解答題(共5小題，滿分56分)

20.解答下列各題：

(1)分解因式：4a2﹣8ab+4b2﹣16c2

(2)計(jì)算：(2a+b)(2a﹣b)+b(2a+b)﹣8a2b÷2b

(3)化簡求值：( ﹣ )÷ ，其中x=﹣3

(4)解分式方程： ﹣1= .

【分析】(1)首先提公因式4，然后把前三項(xiàng)寫成完全平方的形式，利用平方差公式分解;

(2)首先利用平方差公式以及單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法、單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法法則計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)即可;

(3)首先把括號內(nèi)的分式的分母分解因式，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后利用分配律計(jì)算，最后進(jìn)行分式的加減即可;

(4)首先去分母轉(zhuǎn)化為整式方程求得x的值，然后進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【解答】解：(1)原式=4(a2﹣2ab+b2﹣4c2)

=4[(a2﹣2ab+b2)﹣4c2]=4[(a﹣b)2﹣4c2]

=4(a﹣b+2c)(a﹣b﹣2c);

(2)原式=4a4﹣b2+2ab+b2﹣4a2=2ab;

(3)原式=[ ﹣ ]÷

= ? ﹣ ?

= ﹣

=

=

=

=

=1;

(4)方程兩邊同時(shí)乘以(x+2)(x﹣2)得，x(x+2)﹣(x2﹣4)=8，

去括號，得x2+2x﹣x2﹣4=8，

解得：x=6，

檢驗(yàn)：當(dāng)x=6時(shí)，(x+2)(x﹣2)=8×4=32≠0.

則x=6是方程的解.

【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值以及分式方程的解法，正確進(jìn)行分解因式是關(guān)鍵，且要注意解分式方程時(shí)一定要檢驗(yàn).

21.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.求證：

(1)FC=AD;

(2)AB=BC+AD.

【分析】(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答.

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB=BF即可.

【解答】證明：(1)∵AD∥BC(已知)，

∴∠ADC=∠ECF(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

∵E是CD的中點(diǎn)(已知)，

∴DE=EC(中點(diǎn)的定義).

∵在△ADE與△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE(ASA)，

∴FC=AD(全等三角形的性質(zhì)).

(2)∵△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，AD=CF(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，

∴BE是線段AF的垂直平分線，

∴AB=BF=BC+CF，

∵AD=CF(已證)，

∴AB=BC+AD(等量代換).

【點(diǎn)評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識.線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

22.如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點(diǎn).

【分析】要證M是BE的中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，證明△BDE△為等腰三角形，利用等腰三角形的高和中線向重合即可得證.

【解答】證明：連接BD，

∵在等邊△ABC，且D是AC的中點(diǎn)，

∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，

∵CE=CD，

∴∠CDE=∠E，

∵∠ACB=∠CDE+∠E，

∴∠E=30°，

∴∠DBC=∠E=30°，

∴BD=ED，△BDE為等腰三角形，

又∵DM⊥BC，

∴M是BE的中點(diǎn).

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線和高三線合一的性質(zhì)以及等邊三角形每個(gè)內(nèi)角為60°的知識.輔助線的作出是正確解答本題的關(guān)鍵.

23.從2014年春季開始，我縣農(nóng)村實(shí)行垃圾分類集中處理，對農(nóng)村環(huán)境進(jìn)行綜合整治，靚化了我們的家園.現(xiàn)在某村要清理一個(gè)衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾，若用甲、乙兩車運(yùn)送，兩車各運(yùn)15趟可完成，已知甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾，乙車所運(yùn)趟數(shù)是甲車的3倍，求甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾各需運(yùn)多少趟?

【分析】設(shè)甲車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)x趟，則乙車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)3x趟，根據(jù)兩車各運(yùn)15趟可完成總?cè)蝿?wù)，列方程求解.

【解答】解：設(shè)甲車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)x趟，則乙車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)3x趟，

根據(jù)題意得： + =1，

解得：x=20，

經(jīng)檢驗(yàn)：x=20是方程的解，且符合題意，

則20×3=60(趟).

答：甲車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)20趟，乙車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)60趟.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂原題，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗(yàn).

24.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中還要學(xué)習(xí)的十字相乘法，但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了.過程為：x2﹣4y2﹣2x+4y=(x+2y)(x﹣2y)﹣2(x﹣2y)=(x﹣2y)(x+2y﹣2)這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種方法解決下列問題：

(1)分解因式：a2﹣4a﹣b2+4;

(2)△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判斷△ABC的形狀.

【分析】(1)首先將a2﹣4a+4三項(xiàng)組合，利用完全平方公式分解因式，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出即可;

(2)首先將前兩項(xiàng)以及后兩項(xiàng)組合，進(jìn)而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的關(guān)系，判斷三角形形狀即可.

【解答】解：(1)a2﹣4a﹣b2+4

=a2﹣4a+4﹣b2

=(a﹣2)2﹣b2

=(a+b﹣2)(a﹣b﹣2);

(2)a2﹣ab﹣ac+bc=0，

∴a2﹣ab﹣(ac﹣bc)=0，

∴a(a﹣b)﹣c(a﹣b)=0，

∴(a﹣b)(a﹣c)=0，

∴a﹣b=0，或者a﹣c=0，

即：a=b，或者a=c

∴△ABC是等腰三角形.

【點(diǎn)評】此題主要考查了分組分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正確分組分解得出是解題關(guān)鍵.

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